Sea $F:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}$ un funtor y $G$ su adjunto a la derecha. Sea $S:=\{f\in \operatorname{Mor}\mathcal{C}:F(f)\in\mathcal{Iso}(\mathcal{D})\}$. He leído que $G$ es completamente fiel si y solo si $\bar{F}:\mathcal{C}\lbrack S^{-1}\rbrack\rightarrow \mathcal{D}$ es una equivalencia de categorías. Sin embargo, no puedo encontrar una prueba (por mi cuenta o en la literatura). ¿Alguien puede darme una prueba de esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tom Gannon
Puntos
21
Esta es la Proposición 1.3 en el Cálculo de Fracciones y Teoría de Homotopía de Gabriel y Zisman.
Max
Puntos
153
Claramente $F$ envía flechas en $S$ a isomorfismos (esa es la definición).
Ahora sea $K: C\to E$ un funtor que también invierte flechas en $S$, y definamos $K^\# : D\to E$ como $K^\# := K\circ G$. Entonces tenemos una transformación natural $K\eta : K\to K\circ G\circ F$
Ahora, $G$ siendo totalmente fiel implica que $\eta \in S$ (punto por punto) por lo que $K\eta$ es en realidad un isomorfismo natural. De esto se sigue que $[D,E]\to^{F^*} [C,E]$ es esencialmente suryectivo en la subcategoría de funtores que invierten $S$.
Ahora supongamos que tenemos una transformación natural $\theta : K\circ F\to L\circ F$ donde $K,L: D\to E$ son funtores. Queremos encontrar $\delta: K\to L$ tal que $\theta = \delta F$. Ahora sea $x\in D$ y consideremos $\epsilon_x : FGx \to x$. Entonces si $\delta$ funciona, tenemos un cuadrado de naturalidad :
$\require{AMScd} \begin{CD} KFGx @>{\delta_{FGx}}>> LFGx\\ @V{K(\epsilon_x)}VV @VV{L(\epsilon_x)}V\\ Kx @>>{\delta_x}> Lx \end{CD}$
lo cual, con $\theta= \delta F$ en realidad es
$\require{AMScd} \begin{CD} KFGx @>{\theta_{Gx}}>> LFGx\\ @V{K(\epsilon_x)}VV @VV{L(\epsilon_x)}V\\ Kx @>>{\delta_x}> Lx \end{CD}$
Nota que $G$ siendo totalmente fiel también implica que $\epsilon_x$ es un isomorfismo, por lo que obtenemos $\delta_x = L(\epsilon_x)\circ \theta_{Gx}\circ K(\epsilon_x^{-1})$, demostrando así la fidelidad de $F^*$ y dándonos una idea de cómo probar la totalidad: comenzando desde $\theta$, pongamos $\delta := L\epsilon \circ \theta G \circ K\epsilon^{-1}$ lo cual es claramente una transformación natural dada su definición.
Luego, use el cuadrado de naturalidad anterior para mostrar que $\delta FG = \theta G$. Después, mira $\eta_a: a\to GFa$ en $C$ y aplica la naturalidad de $\theta$ en ello para obtener :
$\require{AMScd} \begin{CD} KFa @>{KF(\eta_a)}>> KFGFx\\ @V{\theta_a}VV @VV{\theta_{GFa}}V\\ LFa @>>{LF(\eta_a)}> LFGFa \end{CD}$
y la naturalidad de $\delta F$ para obtener :
$\require{AMScd} \begin{CD} KFa @>{KF(\eta_a)}>> KFGFx\\ @V{\delta_{Fa}}VV @VV{\delta_{FGFa}}V\\ LFa @>>{LF(\eta_a)}> LFGFa \end{CD}$
Las flechas horizontales son isomorfismos porque $\eta_a\in S$ y las flechas verticales a la derecha son iguales por lo que observamos antes: por lo tanto, las flechas verticales de la izquierda también son iguales : $\delta_{Fa} = \theta_a$, es decir, $\delta F= \theta$; demostrando así que $F^*$ es total.
Pero esa es la definición de $F:C\to D$ siendo un funtor de localización en $S$, por lo que (por definición) $D=C[S^{-1}]$ (donde $=$ significa algo así como "tiene la misma propiedad universal por lo tanto es equivalente a cualquier modelo de")
Entonces las cosas que usamos sobre $G$ siendo totalmente fiel son que: i) $F(\eta_a)$ es un isomorfismo para todo $a$
ii) $\epsilon_x$ es un isomorfismo para todo $x$ Estas son propiedades estándar de adjunciones donde el adjunto derecho es totalmente fiel, si no las conoces debes demostrarlas (la idea intuitiva es que si $G$ es totalmente fiel entonces $D$ es una "subcategoría" completa de $C$, incrustada con $G$; y $F$ simplemente toma la mejor aproximación de $D$: pero si ya estás en $D$, entonces obviamente esta mejor aproximación de $D$ eres tú)
