Estoy leyendo el libro "mirror symmetry" de Hori, Katz, Klemm, etc. Y quiero entender la siguiente secuencia exacta larga de deformación
\begin{align} 0 & \to Aut(, p_1, . . . , p_n, f)\to Aut(, p_1, . . . , p_n) &\newline \to Def(f) & Def(, p_1, . . . , p_n, f) Def(, p_1, . . . , p_n) &\newline \to Ob(f) &\to Ob(, p_1, . . . , p_n, f) \to 0 \end{align}
conecta tres teorías de deformación:
1. deformación de curvas estables
2. deformación de mapas (con fuente fija)
3. deformación de mapas estables (con posibles cambios en las curvas fuente)
Y mi entendimiento es el siguiente:
Sea $\mathscr{X}=M_{g,n}$ el espacio moduli de curvas algebraicas (género g, n-puntos marcados), y sea $\mathscr{Y}=M_{g,n}(X,\beta)$ el espacio moduli de mapas estables. Entonces hay un "olvido" morfismo natural:
$\pi : \mathscr{Y} \to \mathscr{X}$
olvidando el "mapa".
Hay un triángulo distinguido de complejos cotangentes en la categoría derivada $D^{-} (\mathscr O_{\mathcal{Y}})$:
\begin{equation} \pi^* L_{\mathscr{X}}\to L_{\mathscr Y}\to L_{\mathscr{Y}/\mathscr{X}}\to \cdot \end{equation}
Ahora aplicamos $R\mathscr{Hom}$, tenemos una secuencia exacta larga:
\begin{align} \mathscr Ext ^0 (L_{\mathscr Y/\mathscr X },\mathcal O_{\mathscr Y }) & \to \mathscr Ext^0 (L_{\mathscr Y}, \mathcal O_{\mathscr Y} ) \to \mathscr Ext^0 (\pi^* L_{\mathscr X},\mathcal O_{\mathscr Y} )& \newline \to \mathscr Ext ^1 (L_{\mathscr Y/\mathscr X },\mathcal O_{\mathscr Y }) & \to \mathscr Ext^1 (L_{\mathscr Y}, \mathcal O_{\mathscr Y} ) \to \mathscr Ext^1 (\pi^* L_{\mathscr X},\mathcal O_{\mathscr Y} )& \newline \to \mathscr Ext ^2 (L_{\mathscr Y/\mathscr X },\mathcal O_{\mathscr Y }) & \to \mathscr Ext^2 (L_{\mathscr Y}, \mathcal O_{\mathscr Y} ) \to \mathscr Ext^2 (\pi^* L_{\mathscr X},\mathcal O_{\mathscr Y} ) \end{align}
Mis preguntas:
(1). ¿Es una secuencia exacta de haces en $\mathscr Y$ con la primera secuencia exacta larga como sus verticales?
(2). Si (1) es cierto, entonces ¿cómo se relaciona $\mathscr Ext^i (\pi^* L_{\mathscr X},\mathcal O_{\mathscr Y} )$ (i=0,1,2) con Aut, Def, Ob de curvas? ¿Y por qué los dos extremos de la secuencia exacta se anulan?
