¿Por qué el inverso izquierdo de una matriz es igual al inverso derecho?

Question

Dada una matriz cuadrada $A$ que tiene rango completo de filas sabemos que la matriz es invertible. Entonces existe una matriz $B$ tal que

$$ AB=1 $$

escribiendo esto en notación de componentes,

$$ A_{ij}B_{jk}=\delta_{ik} $$

Ahora, solemos escribir $A^{-1}$ en lugar de $B$ pero dejémoslo así por ahora.

¿Cómo podemos mostrar que $BA=1$? Mecánicamente llegamos a la conclusión de que si la inversa existe, $AA^{-1}=A^{-1}A=1$ pero ¿cómo demostrarlo? ¿Por qué el inverso izquierdo es igual al inverso derecho? ¡Parece intuitivamente obvio!

¡Gracias de antemano, lo aprecio!

Answer 1

Así que tienes una inversa por la derecha, y sabes que también hay una inversa por la izquierda, digamos $C$. Entonces tienes: $$1 = AB,$$ y multiplicando ambos lados por C en la izquierda, obtienes $$ C = C(AB) = (CA)B = B,$$ es decir, si ambas existen, deben ser iguales.

Answer 2

Deje que el endomorfismo

$$\Phi:\mathcal M_n(\Bbb R)\to\mathcal M_n(\Bbb R),\; X\mapsto XA$$ entonces $\Phi(X)=0\iff XA=0\iff XAB=X=0$ por lo tanto $\Phi$ es inyectivo y por el teorema de rango-nulidad es biyectivo por lo tanto sobreyectivo, entonces existe $B'$ tal que $\Phi(B')=I_n\iff B'A=I_n$ lo cual significa que $A$ tiene un inverso por la izquierda. Es rutinario probar que $B=B'$.

Answer 3

Acabo de tener un pensamiento, usando la matriz conmutadora $C=AB-BA=1-BA$. Al post-multiplicar por $B$ obtenemos

$$ CB=B-BAB=B-B=0 $$

usando $AB=1$. Ahora $B$ tiene rango completo y por lo tanto $C=0$ implicando que $A$ y $B$ conmutan. ¿Es ese el camino a seguir o me perdí de algo?

EDIT:

Aún mejor, consideremos la matriz $S=ABA$. $$ S=(AB)A=A $$ por otro lado $$ S=A(BA) $$ Por lo tanto $$ A=A(BA) \Rightarrow A(BA-1)=0 \Rightarrow BA=1 $$

Answer 4

Dado que $AB=I$ entonces $B=BI=B(AB)=(BA)B$ Como $B=(BA)B$ entonces $BA=I$.

Answer 5

Lema: Supongamos que existe un $v_1\ne0$ tal que $Av_1=0$, entonces el espacio columna de $A$ tiene una dimensión de a lo sumo $n-1$.

Prueba: Supongamos que existe un $v_1\ne0$ tal que $Av_1=0$. Creamos una base $\{v_k\}_{k=1}^n$ para $\mathbb{R}^n$ que incluye a $v_1$. Podemos escribir todos los vectores en $\mathbb{R}^n$ como $$ \sum_{k=1}^nc_kv_k $$ lo que significa que podemos escribir todos los vectores en el espacio columna de $A$ como $$ \sum_{k=2}^nc_kAv_k $$ Por lo tanto, el espacio columna de $A$ tiene una dimensión de a lo sumo $n-1$. $$\square$$

Dado que $AB=I$, el espacio columna de $A$ tiene dimensión $n$. Por lo tanto, $Ax=0\implies x=0$.

Si $AB=I$, entonces $ABA=A$. Por lo tanto, $A(BA-I)=0$. Esto significa que cada columna de $BA-I$ es $0$. Es decir, $$ BA=I $$

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Es importante notar que esto depende de que el espacio vectorial tenga una dimensión finita. Consideremos dos operadores lineales en secuencias, $A$ y $B$, donde $A$ desplaza hacia la izquierda: $$ (Av)_k=v_{k+1} $$ y $B$ desplaza hacia la derecha, llenando con $0$: $$ (Bv)_k=\left\{\begin{array}{} 0&\text{si }k=0\\ v_{k-1}&\text{si }k\ge1 \end{array}\right. $$ Tenemos $AB=I$, pero $BA\ne I$ ya que $BA$ establece el primer elemento de cualquier secuencia a $0$.