Red de congruencia de un semianillo

Question

Un famoso resultado de Funayama y Nakayama establece que la red de congruencia de cualquier retículo es un retículo distributivo 1. Además, se puede demostrar que el retículo es un álgebra de Heyting completa / marco 2. Para la demostración, consulte el Capítulo VI, Teorema 9 de Birkhoff o el Capítulo 8, Teorema 8.1 de Blyth.

Para hacer que mi pregunta sea autocontenido, permítanme definir todo.

Una congruencia $\rho$ en una estructura algebraica $S$ es una relación de equivalencia en $S$ que también es una subálgebra de $S\times S$. Es decir, $\rho$ es compatible con las operaciones binarias en $S$.

Para entender la unión y la intersección de dos congruencias en una estructura algebraica $S$, es suficiente entender la unión y la intersección de dos relaciones de equivalencia.

Mi pregunta es acerca de la red de congruencia de semianillos.

¿Es la red de congruencia de un semianillo nuevamente un álgebra de Heyting completa?

He intentado modificar la demostración dada en 3 y 4. Es fácil mostrar que Cong(S), la red de congruencia de un semianillo, es un retículo completo.

Necesito demostrar que si $(a,b)\in \theta\wedge \bigvee_{i\in I} \theta_i \implies (a,b)\in \bigvee_{i\in I} (\theta\wedge \theta_i)$.

[1]:https://es.wikipedia.org/wiki/Problema\_de\_la\_red\_de\_congruencia#:~:text=El%20teorema%20(Funayama%20y%20Nakayama%201942,cualquier%20ret%C3%ADculo%20es%20distributivo.&text=%2C%20como%20regla%2C%20para%20submódulos,Dilworth%20demostró%20el%20siguiente%20resultado.

Answer 1

Un anillo no tiene que ser congruencia-distributivo.
Por ejemplo, $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ tiene $M_3$, el retículo modular mínimo no distributivo como su retículo de congruencias.

Ahora, si tienes un álgebra $\mathbf A = (A,F)$, donde $F$ es el conjunto de operaciones de ese álgebra, y $F' \subseteq F$, entonces, con $\mathbf A' = (A,F')$, tenemos que $Con(\mathbf A) \leq Con(\mathbf A')$, es decir, el retículo de congruencias de $\mathbf A$ es un sub-retículo del retículo de congruencias de $\mathbf A'$.

En cuanto a anillos y semianillos, estos difieren en que los semianillos carecen de la operación inversa aditiva, $-$ (aquí, como una operación unaria), y así, si $\mathbf R$ es un anillo y $\mathbf R'$ es el semianillo que resulta de ese anillo al eliminar la operación $-$ (en Álgebra Universal decimos que $\mathbf R'$ es una reducción algebraica de $\mathbf R$), entonces $Con(\mathbf R) \leq Con(\mathbf R')$.

Así que sea cual sea la reducción algebraica $\mathbf S$ que consideremos de $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$, por ejemplo, su reducción a semianillo, será tal que el retículo no distributivo $M_3$ es un sub-retículo de $Con(\mathbf S)$.
(Y para muchos más contraejemplos, solo tienes que encontrar anillos que no sean congruencia-distributivos.)