Probabilidad de desigualdad, aplicación de la desigualdad de Markov

Question

Un poco de contexto: trabajando en un problema sobre codificación de canal. A través de un canal estamos enviando una variable aleatoria $X_n$, un código, y al otro lado vemos $Y$ (ambos discretos). Luego realizamos una estimación de ML para decidir qué $X_n$ fue enviado, pero podemos cometer un error y detectar $X_{n'}$ en su lugar.

De todos modos, condicionando a $X$ e $Y$, la probabilidad de un error es

$$ P \left( p(Y|X_{n'})>p(Y|X_n)|X_n,Y \right) $$

A esto quiero aplicar la desigualdad de Markov

$$ \frac{E(A)}{t} \geq P(A>t) $$

Pero no estoy seguro de cómo debería tratar los condicionales. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

¿Es $p(Y|X_{n'})$ la probabilidad condicional de $Y$ dada $X_{n'}$? Entonces, $p(Y|X_{n'})$ es una variable aleatoria no negativa (más precisamente, una función medible no negativa con respecto a la sigma-álgebra generada por $X_{n'}$). Por lo tanto, si $p(Y|X_n)>0$, tenemos $$ P \left( p(Y|X_{n'})>p(Y|X_n)\bigg|X_n,Y \right){}\leq{}\dfrac{\mathbb{E}\left[p(Y|X_{n'})\bigg|X_n,Y\right]}{p(Y|X_n)}\,. $$

Answer 2

Para elaborar un poco en la respuesta de ki3i (+1): si te dan $X_n,Y$, entonces $p(Y|X_n)=t$ es alguna constante, y (condicionado a lo mismo) $p(Y | X_{n'})=g(X_{n'})=Z$ es una variable aleatoria (función de $X_{n'}$)

Luego la probabilidad dada es simplemente $P(Z>t) \le \frac{E(Z)}{t}$ Reemplazando $Z$ por $p(Y | X_{n'}) \mid Y,X_n)$ y $t$ obtienes la otra respuesta. Puedes simplificar un poco notando que, en el modelo de comunicación, la condición sobre $X_n$ en el numerador puede ser eliminada.