Sea $x,y\ge 1$ números reales no enteros tales que $\lfloor x^n\rfloor\lfloor y^n\rfloor$ es un cuadrado perfecto para todos los números naturales $n$. ¿Se sigue que $x=y$?
Desde esta pregunta conocemos la condición bajo la cual $\lfloor a\rfloor\lfloor b\rfloor = \lfloor ab\rfloor$. Pensé que esto implicaba que para $n$ grandes no sería el caso que $\lfloor x^n\rfloor\lfloor y^n\rfloor = \lfloor x^ny^n\rfloor$, pero ahora no entiendo por qué.
Si las condiciones se debilitan ligeramente de cualquiera de las dos formas, o se utiliza techo en lugar de suelo, la respuesta es "no". Esto se debe a la existencia de números no integrales Pisot–Vijayaraghavan numbers (en adelante, números PV). Estos interesantes números reales algebraicos tienen las siguientes propiedades que son importantes para responder a la pregunta:
Dado cualquier $\epsilon > 0$, $\lfloor x^n+\epsilon\rfloor\lfloor y^n+\epsilon\rfloor$ puede ser un cuadrado perfecto para todos los números naturales $n$, para $x\ne y$.
Dado cualquier número PV $\alpha$, podemos encontrar números naturales $p$ y $q$, donde $q>1$, tales que $x=\alpha^{p}$ y $y=q^2\alpha^p$ cumplen la condición. Necesitamos que $p$ sea suficiente para asegurarnos de que la disminución exponencial de las disparidades integrales de las potencias de $\alpha^p$ sea lo suficientemente fuerte como para superar el aumento exponencial causado al multiplicarlo por potencias de $q^2$ cuando $y$ se exponencia. También necesitamos elegir $p$ lo suficientemente grande para que cuando $n=1$ la disparidad integral tanto de $x$ como de $y$ ya sea menor que $\epsilon$. Necesitamos que $q$ simplemente sea para asegurarnos de que $x\ne y$.
$\lfloor x^{2n+1}\rfloor\lfloor y^{2n+1}\rfloor$ puede ser un cuadrado perfecto para todos los números naturales $n$, para $x\ne y$.
Algunos números PV cuadráticos irracionales $\alpha$ tienen la propiedad de que la secuencia $$\alpha^{2n+1} - \lfloor\alpha^{2n+1}\rfloor$$ disminuye exponencialmente para todos los números naturales suficientemente grandes $n$ (en otras palabras, las potencias impares suficientemente grandes de $\alpha$ siempre son mayores que el entero más cercano a ellos, con una disparidad integral exponencialmente decreciente). El "golden ratio" $\phi={{1+\sqrt{5}}\over 2}$ es un ejemplo conocido de dicho número PV. Dado cualquier número PV $\alpha$ con esta propiedad, podemos avanzar de manera similar a cuando se construye un ejemplo para la Versión 1: sea $x=\alpha^{2p+1}$ y $y=q^2\alpha^{2p+1}$ para números naturales $p$ y $q$, donde $q>1$ y $p$ es suficientemente grande.
$\lceil x^n\rceil\lceil y^n\rceil$ puede ser un cuadrado perfecto para todos los números naturales $n$, para $x\ne y$.
Algunos números PV cuadráticos irracionales $\alpha$ tienen la propiedad de que la secuencia $$\lceil\alpha^n\rceil - \alpha^n$$ disminuye exponencialmente para todos los números naturales suficientemente grandes $n$ (en otras palabras, las potencias suficientemente grandes de $\alpha$ siempre son menores que el entero más cercano a ellas, con una disparidad integral exponencialmente decreciente). $2-\sqrt{2}$ es un ejemplo de tal número PV. Dado cualquier número PV $\alpha$ con esta propiedad, podemos avanzar de manera similar a cuando se construye un ejemplo para la Versión 1: sea $x=\alpha^p$ y $y=q^2\alpha^p$ para números naturales $p$ y $q$, donde $q>1$ y $p$ es suficientemente grande.
Las tres construcciones anteriores dejan la pregunta original sin respuesta. Si existiera un número PV que tuviera la propiedad de que la secuencia $$\alpha^{n} - \lfloor\alpha^{n}\rfloor$$ disminuye exponencialmente para todos los números naturales suficientemente grandes $n$, entonces la respuesta a la pregunta original también sería "no": sin embargo, como consecuencia del teorema de aproximación simultánea de Dirichlet, ningún número PV tiene esa propiedad. Además, este tipo de construcción podría evitarse fácilmente agregando una restricción adicional de que al menos uno de los números $x$ o $y$ sea trascendental.
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