Espacios topológicos admitir una función promedio

Question

Vamos $M$ ser un espacio topológico. Definir una función promedio como un mapa continuo de $f:M \times M \a M$ que satisface $f(a,b) = f(b,a)$ para todo $a,b \in M$ y $f(a,a) = a$ para todo $a \in M$.

Estas parecer razonable de las propiedades de una función que merece el nombre de "media" a tener, ya que son disfrutados por las habituales funciones internas en $\mathbb{R}^n$.

Uno puede descartar la posibilidad de un promedio de la función en ambos $S^1$ y $S^2$ por algunos cohomological argumentos. No he trabajado si cualquier esfera admite una función promedio, pero sospecho que no.

Euclidiana todos los espacios de hacer (dado por el habitual).

¿Alguien tiene una caracterización de los espacios en que se admite una función promedio?

Answer 1

Aquí es una prueba de que ninguna esfera (de dimensión $a>0$) admite una función promedio. Supongamos que hay un promedio de la función $f:S^n\times S^n\S^n$. Vamos a $T(x_0,x_1,x_2,\dots,x_n)=(-x_0,-x_1,x_2,\dots,x_n)$; $T:S^n\S^n$ es homotópica a la identidad y satisface $T(T(x))=x$. Ahora, considere el mapa de $g:S^n\S^n$ dada por $g(x)=f(x,T(x))$. Desde $T$ es homotópica a la identidad, $g$ es homotópica a $x\mapsto f(x,x)=x$, y por lo que $g$ grado $1$. Pero tenga en cuenta que $$g(T(x))=f(T(x),T(T(x)))=f(T(x),x)=f(x,T(x))=g(x),$$ así $g$ factores mediante el cociente $S^n\S^n/{\sim}$, donde $\sim$ identifica a $x$ $T(x)$. Es fácil ver que $S^n/{\sim}\cong S^n$ y el cociente mapa tiene un grado $2$. Mus $g$ que incluso han grados, lo cual es una contradicción.

Por otro lado, aquí están algunos de los espacios que tienen los medios. En primer lugar, supongamos que $M=|X|$ es el geométrica realización de una contables contráctiles conjunto simplicial. El functor $X\mapsto X\times X/\Sigma_2$ desplazamientos con motivos geométricos realización contables simplicial conjuntos, por lo que tenemos un CW-complejo de la estructura en $M\times M/\Sigma_2$ que la diagonal $M\M\times M/\Sigma_2$ es un subcomplejo. Desde $M$ es contráctiles, se sigue por la obstrucción de la teoría de que $M$ es un retractarse de $M\times M/\Sigma_2$. Pero tal retracción es exactamente una media de $M$. (La restricción contables simplicial conjuntos es sólo para que el producto tenga el derecho de topología; si trabajas en la categoría de forma compacta generado espacios en lugar de todos los espacios, se puede quitar el countability hipótesis. También sospecho que este argumento funciona para arbitrario contráctiles CW-complejos (no sólo las realizaciones de simplicial conjuntos), pero en ese caso no es obvio cómo conseguir un CW-estructura en $M\times M/\Sigma_2$ con la diagonal como un subcomplejo).

También hay algunos espacios con los medios de los que más interesantes homotopical propiedades. Por ejemplo, supongamos $(A_n)_{n\geq 0}$ ser una secuencia de contables de $\mathbb{Z}[1/2]$-módulos (como en el anterior, el countability hipótesis puede ser disminuido si se trabaja de forma compacta generado espacios). Considerar la limitada cadena compleja de $\mathbb{Z}[1/2]$-módulos cuyos objetos son los $A_n$ y cuyos mapas son todos cero. A través de la Dold-Kan correspondencia, obtenemos de este complejo de cadena una contables simplicial de $\mathbb{Z}[1/2]$-módulo de $X$ tal que $\pi_n(X)=A_n$. La realización geométrica $M=|X|$ es entonces un topológico de $\mathbb{Z}[1/2]$-módulo con $\pi_n(M)=A_n$. Podemos entonces definir una media de $M$ por $f(a,b)=(a+b)/2$.

Answer 2

Tales funciones se llaman medios. Los primeros documento sobre el tema que he visto es G. Aumann, Über Räume mit Mittelbildungen, Mathematische Annalen (1943), Vol. 19, 210-215. Él muestra entre otras cosas que no $S^k$ tiene una media; que la de sólo $2$-dimensiones del colector con una media es el disco abierto; y que, si $X$ tiene una media, luego lo hace cada retractarse y cada uno de los componentes de $X$.

Tres relativamente reciente papeles que yo era capaz de encontrar con bastante rapidez:

Mirosław Sobolewski, Significa en encadenable continua, Proc. Amer. De matemáticas. Soc., Vol. 136, Nº 10, octubre de 2008, 3701-7, muestra que un continuo encadenable que admite una media se homeomórficos para el intervalo.

T. Banakh, R. Bonnet, W. Kubiś, Significa en dispersos compacta, Topológica de Álgebra y sus Aplicaciones (2014), Vol. 2, Nº 1, 5-10, la construcción de un dispersos compacto espacio de admitir que no significa.

La sección 6 de Janusz J. Charatonik, problemas Seleccionados en la teoría del continuo, la Topología de Actas, Vol. 27, Nº 1, 2003, 51-78, se enumeran algunos resultados conocidos y preguntas abiertas sobre los medios en los continuos.

Todos tenemos algunas referencias que pueden ser de interés.

Tengo un débil recuerdo que en la década de 1970 o 1980 Jan van Molino o algunos de los holandeses topologists alrededor de él hizo algunos trabajos en los medios, pero no puedo en el momento de localizar a ninguno de ellos.

Answer 3

Edit: Este post ha sido editado para tomar Eric Wofsey comentarios en cuenta. El resultado final es el siguiente teorema:

Supongamos que $X$ es un colector cerrado de dimensión positiva. Entonces $X$ NO admitir una función promedio.

Si un promedio de $f:X\times X\rightarrow X$ existe, se induce un mapa de $f_\ast: \pi_k(X)\oplus \pi_k(X)\rightarrow \pi_k(X)$.

Observación 1: $f_\ast(g,g) = g$. Prueba: Considerar la composición de $X\rightarrow X\times X\rightarrow X$, donde el primer mapa es la diagonal de la incrustación. Por supuesto, esta composición es la identidad. Ahora, aplique functoriality.

Observación 2: $f_\ast(g,h) = f_\ast(h,g)$. Prueba: Considerar la composición de $X\times X\rightarrow X\times X\rightarrow X$ donde el primer mapa de los swaps de los dos factores y aplicar functoriality.

Estas dos observaciones juntos tienen fuertes consecuencias. Por ejemplo:

Corolario: Supongamos que $G$ es un grupo con un homomorphism $f: G\times G\rightarrow G$ de la satisfacción de las observaciones. Luego de $G$ es abelian y cada elemento de $G$ es el doble de otro elemento de $G$.

Prueba: en Primer lugar nos muestran que cada elemento de $G$ es el doble de la otra, o, en notación multiplicativa, que para cualquier $g\in G$, $g = h^2$ $h\in G$. De hecho, la configuración de $h = f(g,e)$, vemos que $h^2 = f(g,e)f(g,e) = f(g,e)f(e,g) = f(g,g) = g$.

Ahora nos muestran que $G$ es abelian. Tenemos \begin{align*} [f(g,1)f(h,1)]^2 &= f(gh, 1)^2 \\ &= f(gh,1)f(1,gh) \\ &=f(gh,gh)\\ &= gh \\ &= f(g,1)^2 f(h,1)^2\end{align*} por lo que $[f(g,1)f(h,1)]^2 = f(g,1)^2 f(h,1)^2$. La escritura de estos a cabo una cancelación, esto se reduce a $f(h,1)f(g,1) = f(g,1)f(h,1)$. Colocación de $h$ y $g$ con $h^2$ y $g^2$, esto se convierte en $hg = gh$, entonces $G$ es abelian. $\square$

Ahora, es fácil ver que en un grupo cíclico, cada elemento es el doble de otro si el grupo tiene orden impar. De ello se desprende que una finitely generado abelian grupos para que cada elemento es el doble de otro es una suma directa de grupos cíclicos de orden impar. En particular, es finito.

Teorema: Si $X^n$ es un colector cerrado de dimensión positiva de $n > 0$, entonces $X$ no admitir una función promedio.

Prueba: Dado que $X$ es cerrada, $\pi_1(X)$ es finitely generado, y por lo tanto finito para todo $k$. Desde $\pi_k(X)$ es finitely generado como $\pi_1(X)$ módulo, se sigue que $\pi_k(X)$ es es finitely generado por la totalidad de los $k$. Pasar a la cobertura universal de $\tilde{X}$, que está cerrado debido a que $\pi_1(X)$ es finito. Por el Teorema de Hurewicz mod $\mathcal{C}$), se deduce que todos los grupos de homología de $\tilde{X}$ son finitos. Pero, por la dualidad de Poincaré, $H_n(\tilde{X})\cong \mathbb{Z}$. Esta es una contradicción, a menos $n = \dim X = 0$. $\square$

Estas ideas también se puede utilizar para demostrar que $\mathbb{R}^2$ es la única superficie (sin límite) de admitir a un promedio de función.

Sketch: ya Hemos descartado cerrado colectores, por lo que suponemos que $X$ es un no-compacto colector. Entonces, es relativamente bien conocido que $X$ deformación se retrae en su $1$-esqueleto. Si se sigue que $\pi_1(X;\mathbb{Z})$ es un servicio gratuito de abelian grupo. Esto contradice el corolario, a menos que $\pi_1(X;\mathbb{Z})$ es trivial. Esto, a su vez implica que $X$ deformación se retrae en su $0$-esqueleto, que es de $X$ es contráctiles. Esto implica que $X$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^2$.

Answer 4

El papel

B. Eckmann, Räume mit Mittelbildungen, Comentario.De matemáticas.Helv. 28(1954), 329-340

contiene la mayoría de las respuestas dadas hasta el momento. Los resultados de este trabajo se resumen en los siguientes muy interesante la nota de Benno Eckmann:

B. Eckmann, elección Social y la topología.

donde se define $n$-significa como simétrica funciones $\prod_{i=1}^nX\a X$ que la precomposición con la diagonal da la identidad. Los medios en este mathoverflow cuestión son, en este nuevo lenguaje, $2$-medios. Él demuestra:

Teorema 6: Si un número finito de poliedro admite $n$-significa para algunos $n$, entonces es contráctiles.

Teorema 7 + Teorema 4: Un poliedro de $X$, admite $n$-significa que para todo $n$ si y sólo si es contráctiles o tiene la homotoy tipo de un producto de rational Eilenberg Mac Lane espacios.

Teorema 2. Si un espacio de $X$, admite un n-significa para algún n ≥ 2, entonces $\pi_1(X)$ es Abelian, la multiplicación por n es un automorphism de $\pi_k(X)$ para todo $k$ y $\pi_k(X)$ es divisible únicamente por $n$.