Calcular $\lim\limits_{x \to 0} \frac{ \sqrt[3]{1+\sin x} - \sqrt[3]{1- \sin x }}{x}$

Question

Calcular $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt[3]{1+\sin x} - \sqrt[3]{1- \sin x }}{x}$

La pregunta original era resolver $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt[3]{1+ x } - \sqrt[3]{1-x }}{x}$ y se resolvió agregando y restando 1 en el denominador. Haciéndolo en la forma $\lim\limits_{x \to a}\dfrac {x^n - a^n}{x-a} = ax^{n-1}$

¿Cómo resolver el límite anterior sin usar la regla de L'Hôpital?

Answer 1

Pista. Usa $$u-v=\frac{u^3-v^3}{u^2+uv+v^2}$$ con $$u=(1+\sin x)^{1/3}\ ,\quad v=(1-\sin x)^{1/3}\ .$$ Deberías saber $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x$$ sin recurrir a la Regla de L'Hôpital.

Answer 2

Solo otra manera de usar la serie de Taylor.

$$\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+O\left(x^4\right)$$ Ahora, usando el teorema binomial generalizado $$\sqrt[3]{1+\sin(x)}=1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+\frac{x^3}{162}+O\left(x^4\right)$$ $$\sqrt[3]{1-\sin(x)}=1-\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}-\frac{x^3}{162}+O\left(x^4\right)$$ Usando lo anterior, $$\sqrt[3]{1+\sin(x)}-\sqrt[3]{1-\sin(x)}=\frac{2 x}{3}+\frac{x^3}{81}+O\left(x^4\right)$$ $$\dfrac{ \sqrt[3]{1+\sin (x)} - \sqrt[3]{1- \sin (x) }}{x}=\frac{2}{3}+\frac{x^2}{81}+O\left(x^3\right)$$ lo que muestra el límite y cómo se acerca.

Haciendo el problema más general considerando $$A=\frac{(1+\sin (x))^k-(1-\sin (x))^k}{x}$$ y usando el mismo proceso, deberíamos obtener $$A=2k+\frac{k \left(k^2-3 k+1\right)}{3} x^2+O\left(x^3\right)$$

Answer 3

Si ya sabes cómo encontrar el límite $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ \sqrt[3]{1+ x } - \sqrt[3]{1-x }}{x}$ y también que $\dfrac{\sin x}x$ tiende a 1, entonces simplemente puedes usar $$ \frac {\sqrt[3]{1+\sin x} - \sqrt[3]{1- \sin x}}{x} = \frac {\sqrt[3]{1+\sin x} - \sqrt[3]{1- \sin x}}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}x. $$

Answer 4

$$\lim _{ x\to 0 }{ \frac { { (1+\sin x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }-{ (1-\sin x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } } }{ x } } \frac { \left( { (1+\sin x) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+{ (1+\sin x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ (1-\sin x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }+{ (1-\sin x) }^{ \frac { 2 }{ 3 } } \right) }{ \left( { (1+\sin x) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+{ (1+\sin x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ (1-\sin x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }+{ (1-\sin x) }^{ \frac { 2 }{ 3 } } \right) } =\\ =\lim _{ x\to 0 }{ \frac { 1+\sin { x-1+\sin x } }{ x } \frac { 1 }{ \left( { (1+\sin x) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+{ (1+\sin x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ (1-\sin x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }+{ (1-\sin x) }^{ \frac { 2 }{ 3 } } \right) } } =\\ =\lim _{ x\to 0 }{ \frac { 2\sin x }{ x } \frac { 1 }{ \left( { (1+\sin x) }^{ \frac { 2 }{ 3 } }+{ (1+\sin x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }{ (1-\sin x) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }+{ (1-\sin x) }^{ \frac { 2 }{ 3 } } \right) } } =\frac { 2 }{ 3 } \\ \\ $$