Homomorfismo de grupo en un componente conectado del grupo de Lorentz

Question

Denotemos por $L$ al grupo de Lorentz $O(1,3)$ y por $L_+=\{M\in L:\det M=1,M_{00}\ge 1\}$. Este es el componente conectado de la identidad en $L$, pero no nos importa en este ejercicio.

Primero, definimos un mapa $$\widehat{\cdot}:\mathbb{R}^4\to H=\{M\in\mathbb{C}^{2\times 2}:M=M^{\dagger}\}, \widehat{(x_0,x_1,x_2,x_3)}=\begin{pmatrix}x_0+x_3&x_1-ix_2\\x_1+ix_2&x_0-x_3\end{pmatrix}.$$ Esto es una biyección.

Definimos un mapa $f:\text{SL}(2,\mathbb{C})\to L_+$ como $f(M):\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4, x\mapsto x'$, donde $x'$ es único tal que $\widehat{x'}=M\widehat{x}M^{\dagger}$.

He demostrado que $f$ es un homomorfismo de grupos. Pero, ¿por qué está bien definido $f$, es decir, tiene imagen en $L_+$, es decir, por qué $f(M)\in L$, $\det f(M)=1$ y $f(M)_{00}\ge 1$?

Answer 1

Lo principal que hay que observar es que $SL(2,C)$ actúa sobre el espacio vectorial (real de 4 dimensiones) $V$ de formas hermíticas (en dos variables) mediante un cambio de coordenadas. Si una forma $q$ tiene matriz de Gram $M$, entonces la acción de $A^{-1}\in SL(2,C)$ sobre $q$ se describe por $$ M\mapsto A^* M A. $$ (De alguna manera estás usando la inversa de esta fórmula). Esta acción preserva la función determinante $M\mapsto det(M)$ (ya que $det(A)=1)$, que, como probablemente sabes, es cuadrática. Por lo tanto, obtienes una representación $\rho: SL(2,C)\to O(V,q)$: El espacio de automorfismos de $V$ que preservan la forma $q$. Ahora, si calculas la signatura de la forma cuadrática $det$ en $V$, obtienes que es $(1,3)$. Por lo tanto, obtienes una representación $SL(2,C)\to O(1,3)$. Dado que $SL(2,C)$ está conectado y $\rho$ es continua, la imagen cae en el componente de identidad de $O(1,3)$. Si necesitas más detalles, avísame.