Me gusta tu problema. Permíteme resumir.
¿Es posible que un león proteja a una oveja en un plano 2D contra tres lobos trabajando en equipo? Esto es para un escenario de videojuego donde los cinco animales viajan continuamente a la misma velocidad y pueden compartir las mismas coordenadas. Los lobos comienzan equidistantemente separados. Si el león, la oveja y al menos un lobo comparten las mismas coordenadas, entonces los lobos ganan. Todos los leones comienzan en algún punto equidistante entre sí para comenzar (un triángulo equilátero).
Creo que podría tener una prueba, pero me gustaría que la revisaran para estar seguro.
Teorema. Es posible que el león defienda a la oveja en este escenario siempre y cuando se cumplan las siguientes condiciones: 1) el león y la oveja corren en una órbita elíptica rotativa, con ancho a y longitud b, de modo que 2) la rotación de la elipse sea en dirección opuesta a la que el león y la oveja corren alrededor de la elipse, 3) los lobos comienzan a una distancia de la oveja mayor que 2 veces la distancia entre el león y la oveja, y 4) dado
S_half = 2a _0^(/2) 1-e^2 sin^2() d,
donde S_half es la mitad de la distancia alrededor del perímetro de la elipse, se mantiene igual o mayor que 2pi/3 radianes.
Prueba del Teorema. Deje que un lobo y una oveja comiencen tanto en el perímetro como en el semieje menor de una elipse cuyo ancho es a y la longitud b, pero en lados opuestos entre sí. Deje que los lobos estén en los puntos de un triángulo equilátero para comenzar. Deje que el triángulo englobe el área de la elipse, pero no inscrito. En su lugar, alinee al león para estar directamente entre dos de los lobos (en el perímetro del triángulo) y la oveja directamente en el centro del triángulo. Permita que este punto central sea el centro del plano cartesiano para poder trabajar en las matemáticas.
Para comenzar, si el león y la oveja corren en un movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj en la elipse cuyo theta es de 120 grados o más (2pi/3 radianes), los lobos correrán en línea recta hacia donde se dirige la oveja. Si corren en algún movimiento curvo, esto será una distancia más larga a recorrer y el resultado será aún más ventajoso para el león y la oveja. Debido a que el león está corriendo en un movimiento curvo, ataca a dos leones al mismo tiempo, el primero a su izquierda y también el siguiente a su izquierda mientras su carrera curva continúa. Dado que los lobos deben moverse continuamente, necesitarán curvar su trayectoria lejos de la carrera curva del león, lo que los empuja en la dirección opuesta a donde pronto seguirá la oveja en el lado opuesto de la elipse.
El tercer león es el único que puede correr en línea recta, ya que el león está corriendo en dirección opuesta a él. Sin embargo, dado que el tercer lobo comenzó a una distancia de más de 2 veces la distancia a la que estaba la oveja del león, y el theta es de 120 grados o más (el arco es leve), regresará a donde estaba la oveja antes de que el tercer lobo pueda alcanzar la oveja. Dado que llegará en una cierta trayectoria, el lobo debe curvarse en la dirección opuesta.
El ciclo se repite mientras el león se curva una vez más hacia el primer lobo, pero esta vez con un pivote de 60 grados en sentido horario (asumiendo que theta es igual a 120 grados), y luego el segundo como antes. Dado que siempre son empujados a una mayor distancia de la oveja, su distancia convergerá alrededor de un límite. La dirección del ataque de los lobos no importa, ya que se asume que como máximo solo un lobo a la vez podrá mantener un ataque en línea recta.
