Convergencia uniforme de una secuencia funcional

Question

Se supone que debo determinar si la función secuencia

$$f_n\left ( x \right )=\frac{\ln nx}{nx}$$ converge uniformemente en el intervalo $\left ( 0,\propto \right )$.

¿Debo usar el criterio de Weierstrass, o cómo debo resolverlo?

Answer 1

Sea $f_n(x)=\frac{\log(nx)}{nx}$. Para $x>0$, vemos que

$$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0$$

Entonces, $f_n(x)$ converge puntualmente a $0$ en $(0,\infty)$

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Observa que $\frac{df_n(x)}{dx}=\frac{1-\log(nx)}{nx^2}$, de donde es fácil ver que $f_n(x)$ alcanza su máximo valor de $\frac{1}{e}$ en $nx=e$. Por lo tanto, la convergencia no es uniforme en $(0,\infty)$.

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Para cualquier $x\ge\delta>0$ fijo, $f_n(x)$ disminuye en $n$ siempre que $n>\frac{1}{\delta}$. Por lo tanto, para $n\ge 1/\delta$

$$\frac{\log(nx)}{nx}\le \frac{\log(n\delta)}{n\delta}$$

y la convergencia es uniforme en $[\delta,\infty)$ para cualquier $\delta>0$.

Answer 2

Observa que $f_n$ converge puntualmente a cero. Ahora considera $x_n=1/n^2$ y usa ese punto para demostrar que $$\sup_n |f_n(x)|\to 0$$ es falso, por lo tanto no hay convergencia uniforme