Tomemos la secuencia de números naturales en o por encima de dos ($2, 3, 4, \dotsc$) y tachemos solo los primos $2$ y $3$, así como todos sus múltiplos: $$\require{cancel}\cancel{2}, \cancel{3}, \cancel{4}, 5, \cancel{6}, 7, \cancel{8}, \dotsc.$$ Si continuamos esta secuencia para siempre, surge un patrón, a saber $\bullet\bullet\bullet \circ \bullet \circ $ (y se repite).
Estos patrones no existen solo para $\{ 2, 3 \}$. Realiza esta operación para los primeros $k$ primos para algunos valores pequeños de $k$ y obtendrás un patrón similar (aunque tendrá un periodo muy grande). Los patrones que se muestran a continuación corresponden a los casos $\{ 2,3 \}$ y $\{ 2,3,5 \}$ respectivamente. Los coloqué en un círculo para enfatizar el hecho de que se repiten.
Además, algunas simetrías posiblemente interesantes son inmediatamente evidentes. En la primera imagen, he marcado las clases de congruencia de aritmética modular. Para interpretar estas imágenes, comienza en el nodo $6x + 2$ en el gráfico y en el $2$ en tu enumeración de los números naturales. Ahora recorre el gráfico en la dirección de las flechas mientras cuentas en tus números naturales. Si estás en un nodo negro, entonces eres un primo del caso $2,3$ (o $2,3,5$) o un compuesto. Si caes en un nodo blanco, es posible que seas primo o no, pero en el primer ciclo se garantiza que eres primo. Observa que se muestran algunos primos gemelos. No sé si esto se cumple para valores de $k > 5$.
Invertí los colores en la segunda imagen para hacer que la simetría sea más evidente. ¡Pero observa el patrón presente: pasas del primer diagrama al segundo al iterar a través del patrón en el primer diagrama! Me refiero al patrón $\bullet\bullet\bullet\circ\bullet\circ$ que se repite, excepto que también se tacha el primo agregado $5$ y todas sus potencias. ¿Este patrón continúa y se puede usar para probar la conjetura de los primos gemelos?
