¿Cuál es la probabilidad de que la distancia desde L hasta 0 sea menor que la distancia desde M hasta 0?

Question

Dos puntos L y M pertenecen al intervalo [0, 1] elegidos al azar. Así, el intervalo se divide en 3 secciones más pequeñas.

¿Cuál es la probabilidad de que la distancia de L a 0 sea menor que la distancia de M a 0?

Mi solución intentada.

La condición se cumple si tenemos,

$0L < 0M$

$\Rightarrow M-L > 0$

$\Rightarrow M > L$

Dado que la línea trazada pasa por la diagonal del cuadrado unitario, el área es $\frac{1}{2}$.

Entonces, la probabilidad es, $\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$.

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¿Es esta solución correcta? ¿Por qué sí o por qué no?

Answer 1

Siempre debes aplicar una verificación de razonabilidad a tus respuestas. Es decir, pregúntate a ti mismo:

¿Es razonable que la probabilidad sea cero?

En tu caso, estás modelando el lanzamiento de dos dardos a un segmento de línea $[0, 1]$, y quieres saber la probabilidad de que el primer dardo esté más cerca de cero que el segundo dardo. ¡Una probabilidad de cero significaría que la situación es imposible, lo cual claramente no lo es!

La respuesta correcta es $\frac{1}{2}$, la cual se puede obtener de múltiples maneras. Una forma simple es observar que los roles de $L$ y $M$ en el problema son intercambiables, sabes exactamente las mismas cosas sobre ambos. Por lo tanto, la respuesta no puede depender de la etiqueta de una variable como $L$ y la otra como $M, por lo que las siguientes probabilidades deben ser iguales

$$P(L > M) = P(M > L)$$

Dado que estas probabilidades deben sumar $1$, se sigue que ambas deben ser $\frac{1}{2}$(*).

(*) Me he colado con una pequeña suposición de que $P(L = M) = 0. ¿Ves dónde?

Answer 2

No, la respuesta debería ser 1/2. Es la probabilidad de que una variable aleatoria uniforme sea mayor que otra independiente.