papel de las definiciones en las pruebas

Question

Las definiciones son necesarias para definir los objetos y demás, sin embargo, me confunde el origen de las definiciones. Me parece que no pueden ser algo que definamos arbitrariamente porque el simple hecho de decir que algo existe no asegura su existencia y seguir definiendo algo a partir de la nada puede llevar eventualmente a una contradicción. Así que parece una situación extraña que necesitemos definiciones para tener algo con lo que trabajar y demostrar cosas, y sin embargo estas definiciones seguramente necesitan pasar por un proceso de prueba en sí mismas. ¿Puede alguien explicar qué son las definiciones en el sentido más primitivo y de dónde vienen?

Editar: Permítanme elaborar en mi confusión, he estado leyendo en diferentes libros de lógica y en algún lugar llegó a una definición de la prueba como

"Sea T un conjunto de fórmulas de primer orden. Una prueba a partir de (axiomas propios) T es una secuencia finita de fórmulas ("pasos") tal que cada paso es un axioma lógico, un miembro de T, o el resultado de aplicar una regla de inferencia a los pasos anteriores de la prueba."
-un conjunto de axiomas propio es, por ejemplo, los axiomas de la teoría de conjuntos.

Ahora bien, a partir de esta forma de definir la prueba, parece que las únicas definiciones que se pueden utilizar son las de los axiomas propios.

A petición de Henning Makholm, vamos a hablar de la definición de una función. ¿Dónde está el $(\forall x(x\in A\implies\exists! y((x,y)\in f))$ En cuanto a la definición que acabamos de dar de la prueba, no es un axioma lógico ni un axioma propiamente dicho. ¿Es algo que siempre se asume y por tanto se añade a una premisa en cualquier prueba?

Edición 2: Creo que Alfred yerger respondió mejor a esto en su comentario.No estoy diciendo que nadie se equivoque sólo tengo la conexión después de leer su comentario. Esto tiene más sentido cuando pienso en ello en el contexto de la definición de prueba que proporcioné. Las definiciones son la abreviatura de los conceptos que deseamos definir y probar y esto viene de dos maneras posibles, en la hipótesis (por ejemplo, 'que f sea una función tal que...') o es la propiedad que tratamos de probar que tiene algún objeto en particular (por ejemplo, 'demostrar que f=... es una función') de esta manera, la definición no afirma que algo existe. Eso ocurre durante la hipótesis de una prueba, como señaló yerger. Perdona si he sido demasiado vago al plantear esta pregunta. Voy a conceder la respuesta a alguien que tal vez pueda dar un poco más de cuerpo a esta respuesta y tal vez proporcionar algunos buenos casos especiales o instancias de las formas en que las definiciones llegan a ser definidas. Gracias a todos por las contribuciones y me gustaría poder conceder más de un punto.

Answer 1

Las definiciones son sólo una abreviatura.

Por ejemplo " $f$ es una función de $A$ a $B$ "es la abreviatura, en teoría de conjuntos, de $$f\subseteq A\times B \land \left(\forall x(x\in A\implies\exists_1 y((x,y)\in f))\right)$$

Y aquí, incluso $\exists_1$ es una abreviatura.

Las definiciones son una forma de evitar escribir lo mismo una y otra vez.

Otro ejemplo: Decir " $p,q$ son primos" sería realmente engorroso si no pudiéramos definir "primo". Pero podemos decirlo sin la definición.

Las definiciones hacen dos cosas: Acortan el lenguaje y aclaran qué conceptos son importantes. Por regla general, ponemos nombre a las cosas si queremos hablar de ellas durante más de un breve momento, porque eso aclara mucho nuestras discusiones.

Answer 2

Tal vez haya una confusión aquí entre las definiciones y los axiomas. En las primeras, no suponemos que algo existe al definirlo, sólo le atribuimos un nombre. En las segundas, postulamos que alguna frase se cumple. Tomemos el siguiente ejemplo en ZFC:

$\text{Axiom of Existence}: \text{there exists a set with no elements}$

Aquí postulamos la existencia de un conjunto sin elementos, pero no definimos nada. De hecho, no podemos definir nada porque no sabemos a partir de este axioma que hay uno y sólo uno conjunto sin elementos. Ahora después de postular lo siguiente:

$\text{Axiom of Extensionality}: \text{if every element of X is an element of Y and vice-versa then X=Y}$

Ahora podemos demostrar que el conjunto sin elementos es único (demostrarlo), y debido a su unicidad podemos darle un nombre mediante la siguiente definición:

$\text{Definition: the unique set with no elements is denoted by $ \N - Conjunto de vacíos $ and called the empty set}$

Pero si se pregunta por qué postulamos (¿arbitrariamente?) tales axiomas, la respuesta directa es: porque son útiles. Podríamos postular otros.

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Sin embargo, en otro sentido, las definiciones no son sólo abreviaturas.

Por ejemplo, tomemos la famosa frase de Frege (1884) definición contextual de "el número de F s':

el número de F s = el número de G s si hay F y G están en correspondencia uno a uno

Es fácil ver que "el número de F s' no es un mero acortamiento de la RHS. La razón es que en ese tipo de definiciones el definitivamente y definiens son de una categoría lógica diferente (para una discusión, véase Wright 1999).

Sin embargo, en la mayoría de los casos, las definiciones son una mera abreviatura, como ya han respondido otros. De ahí viene la opinión de Whitehead y Russell de que las definiciones son "estrictamente hablando, conveniencias tipográficas" en Principia Mathematica . Se podría argumentar entonces que el propósito de una definición en matemáticas es su fecundidad, y la posibilidad de con ella hacer demostraciones.

Answer 3

Qué son las definiciones en el sentido más primitivo (matemático y lingüístico):

Definición, n. $\qquad$ El establecimiento de límites o fronteras; limitación, restricción.

Lo anterior es el significado principal de definición de la autorizada Diccionario de inglés Oxford . Por supuesto, a usted le interesa más el papel de las definiciones en las matemáticas. El siguiente extracto de la obra de Howard Eves Introducción a la historia de las matemáticas puede resultar bastante perspicaz (6ª ed., pág. 607):

La obra de Euclides no sólo está viciada por numerosas suposiciones tácitas, sino que algunos de sus preliminares definiciones también son criticables. Euclides intentó definir todos los términos técnicos de su divulgación. Ahora, en realidad, es tan imposible definir explícitamente La definición de todos los términos técnicos de un discurso es tan difícil como demostrar todas las afirmaciones del discurso, ya que un término técnico debe definirse mediante otros términos técnicos, y estos otros términos mediante otros más, y así sucesivamente. Para empezar, y para evitar la circularidad de las definiciones, uno se ve obligado a establecer al principio del discurso una colección de términos técnicos primitivos, o básicos, cuyo significado no debe cuestionarse. Todos los términos técnicos posteriores del discurso deben definirse implícitamente En el sentido de que son cualquier cosa o concepto que satisfaga los postulados, y esta definición implícita es el único tipo de definición que pueden recibir los términos primitivos.

En el desarrollo de la geometría de Euclides, los términos punto y línea por ejemplo, bien podría haberse incluido en un conjunto de términos primitivos para el discurso. En cualquier caso, la definición de Euclides de un punto como "lo que no tiene parte" y de una línea como "longitud sin anchura" se ve fácilmente que son circulares y, por tanto, desde un punto de vista lógico, lamentablemente inadecuadas. Una distinción entre la concepción griega y la concepción moderna del método axiomático radica en esta cuestión de los términos primitivos; en la concepción griega, no hay una lista de los términos primitivos. La excusa de los griegos es que para ellos la geometría no era sólo un estudio abstracto, sino un intento de análisis lógico del espacio físico idealizado. Los puntos y las líneas eran, para los griegos, idealizaciones de partículas muy pequeñas e hilos muy finos. Es esta idealización la que Euclides intentó expresar en algunas de sus definiciones iniciales. Existen aún otras diferencias entre la visión griega y la moderna del método axiomático.

Eso debería al menos arrojar algo de luz sobre el papel de las definiciones en las matemáticas, tanto modernas como "antiguas".