Conclusiones de la conmutación de la multiplicación de matrices

Question

Supongamos que para todas las matrices $B$ tales que $B^{-1} = B^T$ tenemos $AB=BA$.

¿Qué conclusiones, si las hay, podemos sacar de esto?

Por ejemplo, ¿podemos decir que $AB=BA=A$?

Gracias de antemano.

EDITAR:

Para decirlo de otra manera:

¿Qué propiedades debe tener $A$ para que al conocer que $B$ es ortogonal, podamos decir que $AR=RA$?

¿Para una matriz de $2 \times 2$ y una de $3 \times 3$?

Answer 1

No, no podemos decir que $AB=BA=A$ para todas esas matrices. Toma $A=I_n$ y $B$ diferente de $A$. Entonces $AB=BA$, pero $AB=B\neq A$ para cualquier $B$ con $B^{-1}=B^T$, diferente de $A, por ejemplo $$ B=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr -1 & 1 \end{pmatrix}. $$

Answer 2

Toma rotaciones tridimensionales. Si conmutan, podría significar que $A$ es una rotación sobre el mismo eje que $B.