Sistema específico de ecuaciones con multiplicaciones

Question

Estoy enfrentando un problema matemático que pensé que era fácil, pero estoy atascado con una solución que no parece ser óptima.

El problema es el siguiente: tengo "registros" que son la representación expandida de varios Qubits (bits cuánticos), y quiero separarlos. ¿Cuál es la manera más rápida de hacerlo?

Nota que el hecho de que estemos tratando con Qubits es secundario aquí.

Por ejemplo $0.707\text{ |00>} + 0.707i\text{ |01>} + 0\text{ |10>} + 0\text{ |11>}$ es una representación de los 2 Qubits $(1 \text{ |0>} + 0\text{ |1>})(0.707\text{ |0>} + 0.707i\text{ |1>})$.

En el caso general, puedo tener $n$ Qubits (así que la representación expandida tiene $2^n$ términos).

Mi idea (con el ejemplo de $\alpha\text{ |00>} + \beta\text{ |01>} + \gamma\text{ |10>} + \delta\text{ |11>}$ a ser convertido en $(a \text{ |0>} + b\text{ |1>})(a'\text{ |0>} + b'\text{ |1>}))$ :

Tenemos el sistema :

• $\alpha = aa'$
• $\beta = ab'$
• $\gamma = a'b$
• $\delta = bb'$

Notando que la suma de los cuadrados de los módulos siempre es $1$ en un Qubit, tenemos $|\alpha|²+|\beta|² = |a|²*(|a'|²+|b'|²) = |a|²$, entonces $|a| = \sqrt{|\alpha|²+|\beta|²}$ (lo mismo aplica para los otros).

La dificultad ahora es encontrar los argumentos de $a,a',b,b'$.

Hasta ahora, mi mejor idea es aplicar la función de argumento para transformar las primeras $2n$ ecuaciones anteriores en lineales (donde $n$ es el número de Qubits, aquí $2$), y luego hacer eliminación de Gauss-Jordan en estas, pero esto es tedioso y ni siquiera estoy seguro de que vaya a funcionar porque ya no estoy trabajando en el campo de los números complejos.

La cuestión es que realmente creo que me estoy perdiendo algo más fácil aquí. ¿Alguien tiene una idea, o puede validar la mía si no hay otra forma?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Ten en cuenta que el hecho de que estemos tratando con qubits es secundario aquí.

Genial porque no entendí nada de tu problema con los qubits. Sin embargo, tal vez pueda decirte un poco más sobre tu sistema de ecuaciones. Este es un caso particular de problema de aproximación de rango 1. Este es un campo de investigación activo. El objetivo es, para un tensor dado $A \in \mathbb{R}^{d_1 \times \ldots \times d_m}$ de orden $m$, encontrar algunos vectores $u^1 \in \mathbb{R}^{d_1}, \ldots, u^m \in \mathbb{R}^{d_m}$ tal que $A_{j_1, \ldots, j_m}=u^1_{j_1} \cdot \ldots \cdot u^m_{j_m}$ para cada $1 \leq j_1 \leq d_1, \ldots, 1 \leq j_m \leq d_m$. Encontrar esos $u$ todavía es un problema abierto. Pero en el caso especial de matrices, parece que hay algoritmos eficientes (generalmente basados en la SVD de la matriz). Ver por ejemplo aquí al final de la página o simplemente buscar "aproximación de rango uno de una matriz".