Diferencia entre la secuencia creciente de funciones y la secuencia de funciones crecientes

Question

Supongamos que definimos una secuencia de funciones $\{f_n \}_{n \in \mathbb{N}}$. Estoy confundido con los siguientes términos relacionados con esta secuencia de funciones -

1) Secuencia creciente de funciones

2) Secuencia de funciones crecientes

Supongo que son dos conceptos diferentes pero no puedo distinguir entre ellos. Esta pregunta también se puede formular para una secuencia de números.

Answer 1

Es como la diferencia entre una multitud creciente de personas y una multitud de personas creciendo.

1. La secuencia está aumentando si $f_{m}(x) > f_n(x)$ para $m > n$, para todo $x.

2. Las funciones están aumentando si $f_n(y) > f_n(x)$ para $y > x$, para todo $n.

Answer 2

Ejemplos pueden ayudar: Deje $f_n(x)=n+\sin x$ y $g_n(x)=e^{nx}$.

Entonces $\{f_n\}_{n\in\Bbb N}$ es una secuencia de funciones y esta secuencia es creciente porque para $n_1>n_2$ tenemos $f_{n_1}>f_{n_2}$ (lo que es simplemente abreviado como $\forall x\in\Bbb R\colon f_{n_1}(x)>f_{n_2}(x)$. Sin embargo, las funciones individuales $f_n$ están oscilando, no aumentando.

Por otro lado, $\{g_n\}_{n\in\Bbb N}$ es otra secuencia de funciones y esta secuencia es una secuencia de funciones crecientes, lo que significa que cada $g_n$ individualmente es creciente, es decir, siempre que $x_1>x_2$ entonces $g_n(x_1)>g_n(x_2)$. Pero la secuencia en sí misma no es ni creciente ni decreciente: si $n_1>n_2$ entonces $g_{n_1}(1)>g_{n_2}(x)$, pero $g_{n_1}(-1)

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"Esta pregunta también puede formularse para secuencias de números." - En realidad no puede, o al menos estamos enfrentando un problema lingüístico en lugar de un problema matemático.

Una "secuencia de números crecientes" (a diferencia de una secuencia creciente de números) debería ser una secuencia de números donde los números individuales son crecientes. Pero un número único no puede ser creciente (¡mientras que una función puede serlo!). Admitamos que esta no es toda la verdad: inmediatamente entenderíamos que "una secuencia de números distintos" es una secuencia $(a_n)_{n\in\Bbb N}$ donde $a_n\ne a_m$ cuando $n\ne m, aunque ser distintos no es una propiedad de un número individual. Esta vez, no podemos enmendar la situación hablando de "una secuencia distinta de números" porque eso sería simplemente otra secuencia que difiere de una secuencia anterior, mientras que el resto de las propiedades de la secuencia permanecen en la oscuridad. Uno podría intentar formular "una secuencia de números distintos par a par", pero enfrentémoslo: si decimos "una secuencia de números distintos", entonces la audiencia entenderá como se pretendía. Lo mismo ocurre con "una secuencia de números crecientes", ya que la interpretación literal no es posible.

sin embargo, cada vez que consideremos secuencias (u otros "súper-objetos") de objetos y hagamos referencia a una propiedad que podría aplicarse tanto a la secuencia como a los objetos individuales, entonces es imprescindible ser preciso en la formulación y diferenciar entre "un súper-objeto de objetos foobar" y "un súper-objeto de objetos foobar" (e incluso "un súper-objeto foobar de objetos foobar"). Como siempre es preferible hacer formulaciones precisas en matemáticas (bueno, tal vez no siempre, como me gusta decir: "Las generalizaciones siempre son incorrectas"), recomiendo encarecidamente evitar esas formulaciones que he descrito como comprensibles y sugerir hablar solo de una "secuencia creciente de números" o "una secuencia de números distintos par a par".