Ecuación local para campos de Jacobi

Question

Sea $\gamma:[0,1] \longrightarrow M$ una geodésica en M, y V un campo de Jacobi. Sea $(E_1(t),...,E_n(t))$ una base ortonomal de $T_{\gamma(t)}M$ con $E_1(0)=\frac{\gamma'(0)}{||\gamma'(0)||}$. Definimos funciones en $[0,1]$ por $R(E_j(t),E_h(t))E_k(t)=R^i_{j,h,k}(t)E_i(t)$. También tenemos $J(t)=J_i(t)E_i(t)$ (se utiliza la convención de suma de Einstein). Entonces la ecuación de Jacobi se convierte en $$J_i''(t)E_i(t)=R(\gamma_j'E_j(t),J_hE_h(t))(\gamma_k'E_k(t))=\gamma_j'\gamma_k'J_hR^i_{j,h,k}E_i$$ . ¿Por qué se convierte al final en $$J_i''+||\gamma'(0)||^2R^i_{j,1,1}J_j$$ ? Probablemente sea muy simple, pero no lo entiendo. Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Deberá requerir que $E_1(t) = \frac{\gamma'(t)}{||\gamma'(t)||}$ para todo $t$ (lo cual ciertamente no es un problema localmente). Si realiza este supuesto adicional, entonces solo se necesitan dos pequeños pasos para llegar desde su ecuación penúltima a la forma final. Cuando $E_1(t) = \frac{\gamma'(t)}{||\gamma'(t)||}$, entonces $$\gamma_j'E_j(t) = ||\gamma'(t)|| E_1(t).$$ Entonces la ecuación de Jacobi se puede expresar en su forma final: $$J_i'' E_i = ||\gamma'(t)||J_j\ R(E_1, E_j)E_1 = -||\gamma'(t)||J_j R_{j11}^i E_i,$$ donde he usado la anti-simetría $$R_{ijk}^l = -R_{jik}^l$$ proveniente de la definición de $R(X,Y)Z$ mediante $$R(X,Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla X Z - \nabla_{[X,Y]} Z.$$ Por supuesto, dado que $\gamma$ es una geodésica, tiene velocidad constante, por lo que $||\gamma'(t)|| = ||\gamma'(0)||$ para todo $t.

Si no requerimos que $E_1$ apunte a lo largo de $\gamma'$ para todo $t$, entonces la ecuación $$J_i''+||\gamma'(0)||^2R^i_{j,1,1}J_j = 0$$ será falsa. La forma general de la ecuación de Jacobi es $$J''(t) + R(J, \gamma')\gamma' = 0,$$ y si el marco $\{E_i(t)\}$ se elige de tal manera que $\gamma'(t)$ no se encuentra en la dirección $E_1$ en todo momento, entonces la ecuación anterior no se simplifica a la forma deseada.