¿Es suave la función de onda de red numérica? - caso de enlace fuerte de grafeno

Question

Intenté seguir exactamente la Sec. II.K [página 112-113, Hamiltoniano después de la Ecuación (113)] del estándar artículo de la Revisión de Física Moderna sobre grafeno, que es un modelo de enlace fuerte de una franja de grafeno bajo campo magnético.

Es periódico y por lo tanto transformado por Fourier a lo largo de x, pero abierto a lo largo de y.

El espectro de energía resultante se parece perfectamente al de los niveles de Landau como en el artículo. Sin embargo, me confundí con las funciones de onda ya que se ven algo desordenadas, en forma de sierra y no suaves.

No he jugado mucho con modelos de enlace fuerte y no estoy seguro si esto es correcto o no. ¿Probablemente uno no espera que las funciones de onda en la red sean suaves en absoluto?
Otra pregunta es si la degeneración de los niveles de Landau (LL) se levanta en general en modelos de red. En caso afirmativo, ¿es el LL de red una cierta superposición de muchos LL degenerados, que depende de los detalles del modelo de red?

Aquí trazo, en cierto $k_x$ alrededor de las bandas planas, normas de las funciones de onda de los 4 primeros bandas armchair (de izquierda a derecha) en una subred.

Answer 1

La interacción en casi todos los modelos de enlace fuerte tiene un rango finito (por ejemplo, solo incluye interacciones de vecinos más cercanos o de vecinos más cercanos), por lo tanto, el polinomio trigonométrico matricial asociado es suave (incluso analítico). Por lo tanto, las funciones de Bloch y las funciones de banda de energía son localmente suaves lejos de las intersecciones de bandas.

Answer 2

Tengo una posible explicación. Utilicé el hamiltoniano del pozo cuadrado infinito (no presté atención a las condiciones de frontera ya que no importarán para el panorama general). Luego calculé los autovectores/autovalores en Mathematica.

n = 50;
d = KroneckerDelta;
H = -Table[d[Abs[i - j] - 1] - 2 d[i - j], {i, 1, 
     n}, {j, 1, n}];
v = Eigenvectors@H;
e = Eigenvalues@H;

El espectro de energía no ordenado e se ve de la siguiente manera

Observa dos cosas: en primer lugar, las energías más bajas están a la derecha, lo que nos dice que generalmente no puedes confiar en el orden de estas energías. Probablemente querrías ordenar de menor a mayor y ordenar los autovectores junto con ellos. En segundo lugar, esperaríamos una dependencia cuadrática en $k$ donde $k$ es el k-ésimo autovalor. Aquí $k$ resulta ser el número de onda como en $\psi=A\sin kx$ como se verá en las gráficas. Así que esperaríamos $E\propto k^2$. Se puede ver que esta dependencia cuadrática se mantiene para valores bajos de $k$ pero falla para longitudes de onda pequeñas (grandes $k$). Nuevamente, las energías no están ordenadas, por lo que un gran $k$ está a la izquierda en esta gráfica.

Ahora veamos dos de estos autovectores

La primera y segunda imagen corresponden a $k=2$ y $k=n-2$ respectivamente. Se puede ver que $k=2$ se comporta de manera agradable como esperábamos. Para $k=n-2$ la solución se parece a un diente de sierra como en tus soluciones. Puedes interpretar esto como la aproximación discreta fallando para $k$ alto. Cuando $k$ es alto, la aproximación $$\frac{d^2\psi}{dx^2}\approx \psi(x+a)-2\psi(x)+\psi(x-a)$$ funciona cada vez peor, por lo que podemos esperar que las soluciones se desvíen de la respuesta exacta. No estoy seguro si esto es lo que sucede en tu caso pero esto debería ser algo a tener en cuenta.

EDIT: Esto probablemente ya no será útil para ti dado que esto fue preguntado hace un año, pero aún así respondí porque parece ser un problema que más personas enfrentan.