¿Se pueden acotar los ceros de un polinomio $p$-ádico multivariable?

Question

Los polinomios reales multivariados, a diferencia de los polinomios complejos multivariados, pueden tener conjuntos de ceros acotados, es decir, $x^2+y^2-1$ en $\mathbb{R}^2$. Esto falla en $\mathbb{C}^n$ porque $\mathbb{C}$ es algebraicamente completo y restringirse a una línea genérica producirá un polinomio univariado que siempre tendrá raíces. ¿Existen polinomios así en $\mathbb{Q}_p^n$ con $n>1?

$\mathbb{Q}_p$ no es cerrado algebraicamente, por lo que ese argumento no se aplica de inmediato, pero tampoco está ordenado como $\mathbb{R}$ por lo que no es obvio cómo construir un ejemplo de un polinomio con conjunto de ceros acotado. Sé por esta respuesta que en $\mathbb{Q_p}$ $-1$ es la suma de 4 cuadrados, lo que creo implica que $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2-1$ no tiene un conjunto de ceros acotado en $\mathbb{Q}_p^5$, lo que va en contra del mismo caso en $\mathbb{R}^5, pero no me dice nada sobre la situación general.

Answer 1

Pude encontrar una fuente relevante aquí. Hay varios ejemplos en ese documento, pero estaba principalmente interesado en el 'círculo' en $\mathbb{Q}_p^2$. Para primos de la forma $p=4k+1$, el 'círculo' es ilimitado y para primos de la forma $p=4k+3$, el 'círculo' es limitado (aún no he resuelto el caso de $p=2$).

En $\mathbb{Q}_p$ con $p=4k+1$, hay una raíz cuadrada de $-1$ que llamaré $i$. Esto permite la factorización $x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)$ lo que, con un cambio de base, significa que el 'círculo' es equivalente al polinomio $uv-1$, que claramente tiene ceros arbitrariamente grandes.

En $\mathbb{Q}_p$ con $p=4k+3$, asume que tienes una solución $x,y$ de $x^2+y^2=1$ con $|x|_p>1$. Entonces, por la fuerte desigualdad del triángulo, $|y|_p=|x|_p>1$. Esto implica que si tomamos los dígitos menos significativos de $x$ y $y$ (llamémoslos $x_0$ y $y_0$) en sus expansiones en base $p$, entonces debe ser el caso que $x_0^2+y_0^2=0$ en $\mathbb{F}_p$. Pero esto solo es posible si $x_0$ y $y_0$ son ambos $0$, lo cual es una contradicción. El mismo argumento se aplica para $y$, por lo que tanto las coordenadas x como y de los ceros de $x^2+y^2-1$ están limitadas y el conjunto es limitado en $\mathbb{Q}_p^2.