Que $K \leq H$ ser dos subgrupos de un Grupo topológico $G$ y Supongamos que $K$ tiene índice finito en $H$. ¿Sigue que $\bar{K}$ tiene índice finito en $\bar{H}$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sí, si su grupo tiene una contables de base (por lo que el cierre de un conjunto a es el conjunto de los límites de las secuencias de puntos en ese juego). Deje $\{h_1,...,h_n\}$ ser representantes de la izquierda cosets de $K$$H$. Entonces para cualquier punto de $h \in \bar{H}$, expresarlo como un límite de una secuencia $x_1, x_2, x_3, ...$ de los puntos de $x_i \in H$. Estos puntos pueden ser representadas mediante el coset que los representantes de la $h_{i_1}y_1, h_{i_2}y_2, h_{i_e}y_3,...$,$i_k \in \{1,...,n\}$$y_n \in K$.
Ahora algunos $h_k$ debe aparecer infinitamente a menudo, por lo tanto, pasando a una larga tenemos que $h$ es el límite de una secuencia $h_ky_1, h_ky_2, h_ky_3,...$ y, entonces, por la continuidad de la multiplicación del grupo tenemos $h = h_ky$ donde $y \in \bar{K}$ es el límite de la $y_i$.
Esto demuestra que cualquier punto de $h \in \bar{H}$ se encuentra en $h_k\bar{K}$ algunos $k \in \{1,...,n\}$, por lo tanto el mismo coset representantes de $K$ $H$ también en forma de un conjunto de (posiblemente redundante) coset representantes de $\bar{K}$$\bar{H}$, y, en particular, $\bar{K}$ ha finito índice en $\bar{H}$.
Sospecho que las secuencias en este argumento podría ser adaptado en más de un "para cualquier conjunto abierto en torno a $h$, no es ..." una especie de lenguaje para hacer la prueba de trabajo para general topológica de los grupos, pero me quedo con la intuición de llegar con secuencias.
YequalsX
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La respuesta es sí , en general, y aquí es una prueba, que es una adaptación de MartianInvader:
Deje $K$ han finito índice en $H$, con coset reps. $h_1,\ldots,h_n$. Puesto que la multiplicación por cualquier elemento de $G$ es un homeomorphism de $G$ a sí (desde $G$ es un grupo topológico), nos ver que cada coset $h_i \overline{K}$ es un subconjunto cerrado de $G$, y por lo tanto también lo es su unión $h_1\overline{K} \cup \cdots \cup h_n \overline{K}$. Ahora este conjunto cerrado que contiene a $H$, y por lo tanto, contiene $\overline{H}$. Así $\overline{H}$ está contenido en la unión de un número finito de $\overline{K}$ cosets, y por lo tanto, contiene $\overline{K}$ con un límite de índice.
[Nota: yo no había pagado la debida atención a Keenan y Kevin comentarios sobre MartianInvader la respuesta cuando escribí esto, y esta respuesta esencialmente replica el contenido de sus comentarios.]
