¿Qué sucede si eliminamos el requisito de desaparición cofinita en las cadenas simpliciales?

Question

Sea $\mathcal{K}$ un complejo simplicial. Definimos cadenas $n$-simpliciales como aplicaciones de los $n$-simplejos en $\mathcal{K}$ a $\mathbb{Z}$ de tal manera que se anulan en un conjunto cofinito de veces. Entonces obtenemos una base para un grupo abeliano libre "gratis" ya que cada cadena es una suma de funciones características sobre el soporte para algunos coeficientes y esta suma está garantizada de ser finita por la condición de anulación cofinita.

¿Qué pasa si eliminamos este requisito? ¿Podríamos solucionarlo usando $\mathbb{Z}_2$? No puedo encontrar información al respecto y todas las referencias que consulté (Munkres, Hatcher, Rotman, Hocking & Young) lo hacen con este requisito o incluso las definen como sumas formales finitas de inmediato. Verifiqué que $\partial$ se comporta como se esperaba. ¿Dónde falla exactamente este enfoque, aparte de que no se beneficia de la "bondad" de tener un grupo abeliano libre como resultado?

Answer 1

Creo que no hay ningún contenido matemático interesante aquí ... más bien que las cosas simplemente no funcionarán correctamente si no se anulan no cofinitamente.

Por ejemplo, considera un $0$-simplex $z_o$ con (contablemente) infinitos $1$-simplices orientados $t_1, t_2, t_3, ...$ teniendo límites $\partial t_i=z_o-z_i$ con $0$-simplices $z_i$. (Se puede hacer esto sobre $\mathbb Z/2$, también). Entonces el límite de $\sum_i t_i$ es $\sum_{i=1}^\infty z_o-\sum_{j\not=0} z_j$. La última suma podría estar bien, pero ¿qué podría significar la primera? Hacer cosas módulo $2$ no parece ayudar.

Entonces, a menos que ampliemos los posibles significados de estas sumas (lo cual no está fuera de discusión), simplemente no está claro cuál sería el significado, en el contexto de límites y así sucesivamente.