Escalado $\epsilon$ en pruebas $\epsilon$-$\delta$

Question

Cuando estamos intentando resolver un límite o demostrar la continuidad en un punto a través de las definiciones $\epsilon$-$\delta$ como en

$$ \forall \epsilon >0, \exists \delta >0 \; \text{ tal que } \; \forall x \in A, |x-x_0|<\delta\implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon $$ A veces podemos encontrarnos en el paso final de la prueba algo como $$ |f(x)-f(x_0)| tal que $M$ es una constante positiva. Sé que $\epsilon \in (0,+\infty)$ así que está cerrada bajo la multiplicación por un escalar no negativo $M$ y el $M$ no afecta la generalidad de la prueba, sin embargo ¿cómo debo explicar esto en la prueba? ¿Debo definir $\epsilon'=M\epsilon$ o simplemente tomar $M^{-1}\epsilon$ en la definición? Es una duda bastante simple, pero me molesta.

Answer 1

Su prueba debería comenzar típicamente con algo como

Sea $\epsilon > 0$. Entonces si tomamos $\delta = \frac12 \epsilon^{1/3}$, tenemos...

y terminar con algo como

...así que $|f(x) - f(x_0)| < 8 \delta^3 = \epsilon$.

(Las expresiones utilizadas son ejemplos inventados por completo.)

Si tienes una elección ligeramente incorrecta de $\delta$ dependiendo de $\epsilon$, podrías llegar a obtener un límite que no es $\epsilon$; por ejemplo, si hubiéramos elegido $\delta = \epsilon^{1/3}$ en este ejemplo inventado, terminaríamos con $|f(x) - f(x_0)| < 8\epsilon$. Lo correcto que hacer en este caso es cambiar tu definición de $\delta$ al principio de la prueba, para que terminemos con $\epsilon$ y no con $8\epsilon$.

Por lo general, no sabrás qué elegir para $\delta$ cuando comiences a resolver el problema. Realizarás algunos cálculos en términos de $\delta$, y luego tendrás que descubrir cómo comenzar tu prueba para que obtengamos $\epsilon$ como límite superior al final. (A veces, podrías escribir expresiones más complicadas como "tomar $\delta = \min\{\frac12 \epsilon^{1/3}, 1\}$".)

En un entorno más informal, o si estás escribiendo para una audiencia que está muy familiarizada con las demostraciones $\epsilon$-$\delta$, podrías simplemente probar algo como "Si $|x - x_0| < \delta$, entonces $|f(x) - f(x_0)| < 8\delta^3$" y dejar el $\epsilon$ implícito.