¿Qué significa ser una función $L^1$?

Question

Estoy luchando por entender lo que el espacio $L^1$ es, y lo que significa que una función sea $L^1$.

Un amigo me dijo que una función $f$ es $L^1$ si $\int_\mathbb{R} |f|$ es finito. Es $L^2$ si $(\int_\mathbb{R} |f|^2)^{1/2}$ En primer lugar, ¿es esto correcto? He buscado en línea, pero las definiciones parecen complicadas. No estoy estudiando un curso de integración de Lebesgue, y solo quiero entender básicamente qué son estos espacios.

Él explicó que los espacios contienen funciones que decaen a cero, ¿es esto correcto?

¿Podría alguien proporcionar una definición simple/explicación intuitiva para que pueda ver estos espacios, y darme algunos ejemplos de funciones que contienen (y aún mejor funciones que no contienen)?

Nunca he estudiado la Integración de Lebesgue, y ahora estoy tomando un curso de Análisis de Fourier de posgrado, así que tal vez debería estudiarlo con más detalle, pero por el momento me gustaría entender un poco más sobre estos espacios.

-----EDIT------- Entonces, por ejemplo, ¿son $sin$ y $cos$ $L^1$?

Answer 1

Dado un espacio medible $X$ equipado con una medida $\mu$, una función $f: X \to \mathbb{C}$ que está definida casi en todas partes (es decir, hasta un conjunto de medida $0$) se dice que es un elemento de $L^1$ si

$$\int_X |f| d\mu < \infty$$

Más apropiadamente, tenemos que identificar funciones que son iguales casi en todas partes, por lo que los elementos del espacio de Lebesgue $L^1$ son realmente clases de equivalencia de funciones bajo la relación de ser iguales casi en todas partes, pero esto es una nota técnica.

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Prácticamente hablando, una función medible de valores reales o complejos en la recta real con respecto a la medida de Lebesgue es un elemento de $L^1$ si $$\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx < \infty$$ Así que una función como $\chi_{[0,1]}$ que es $1$ en $[0,1]$ y $0$ fuera pertenece a $L^1$, al igual que $e^{-x^2}$.

Si $f$ es lo suficientemente continua, esto coincide con la integral de Riemann habitual. Ahora es bastante fácil demostrar que $$\int_{\mathbb{R}} |\sin x| dx$$ no puede ser finito, por lo que $\sin x \notin L^1(\mathbb{R})$. En cierto sentido, las funciones de $L^1$ tienen que decaer a $0$ en $\pm \infty$: De hecho, una forma de pensar en $L^1$ es que es la completitud de

$$C_C = \{\text{funciones continuas con soporte en un conjunto compacto}\}$$

bajo la métrica inducida por la integración (de nuevo, con pequeñas advertencias técnicas).

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Así que en resumen, ignorando las definiciones técnicas, las funciones de $L^1$ son exactamente aquellas funciones que tienen suficientemente pequeños picos y decaen suficientemente rápido para que $\int |f| < \infty$.

Answer 2

Una funcional $L^1$ de un espacio $X$ a $\mathbb{R}$ es una función $\mu$-medible tal que $$\int_{X} |f|\,d\mu < \infty.$$

Answer 3

De hecho, podemos dar una definición que no requiere la medida de Lebesgue o la teoría de la medida. Definimos una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como integrable en el sentido de Lebesgue ($f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$) si existe una secuencia $(f_n)_{n=1}^\infty$ de funciones continuas y de soporte compacto $f_n \in C_c(\mathbb{R})$ que satisfacen las siguientes dos propiedades:

1. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \int_{\mathbb{R}} |f_n| < \infty$,
2. Si $x \in \mathbb{R}$ satisface $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty |f_n(x)| < \infty$, entonces $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x) = f(x)$.

En lo anterior, la integral $\int_{\mathbb{R}} |f_n|$ es la integral de Riemann; existe y es finita para todos los $f_n$ porque $f_n \in C_c(\mathbb{R})$.

Aquí he escrito $\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ en lugar de $L^1(\mathbb{R})$ porque técnicamente son diferentes. El primero contiene las funciones integrables en el sentido de Lebesgue, y el segundo trata funciones integrables en el sentido de Lebesgue que son equivalentes casi en todas partes como equivalentes.

La conclusión es que en cierto sentido, podemos pensar en una función $f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ como el límite de funciones $C_c(\mathbb{R})$ que se desvanecen en el infinito de una manera que restringe sus integrales (absolutas) sobre todo $\mathbb{R}$ a ser finitas, y por lo tanto $\int_\mathbb{R} |f|$ finito.