¿Tiene la Recta de Sorgenfrey una base puntualmente contable?

Question

Tal como indica el título, ¿tiene la Línea de Sorgenfrey una base contable por puntos? Gracias de antemano.

Answer 1

No lo es.

Sea $\Bbb S$ la recta de Sorgenfrey. Supongamos que $\mathscr{B}$ es una base puntualmente contable para $\Bbb S$. $\Bbb Q$ es denso en $\Bbb S$, por lo que cada $B\in\mathscr{B}$ contiene algún $q_B\in\Bbb Q$. Para cada $q\in\Bbb Q$ sea $\mathscr{B}(q)=\{B\in\mathscr{B}:q_B=q\}$; $\mathscr{B}(q)$ es contable, ya que $q\in\bigcap\mathscr{B}(q)$, y $\mathscr{B}=\bigcup_{q\in\Bbb Q}\mathscr{B}(q)$, por lo tanto $\mathscr{B}$ es contable. Pero $\Bbb S$ no es segundo contable.