Cardinalidad de $M$, $M = \{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid 2x + y \in \mathbb{N}$ y $x - 2y \in \mathbb{N} \}$

Question

Publicué un problema muy similar ayer mismo y todavía estoy luchando por entender este tipo de problemas, así que si alguien pudiera sugerirme algún material que pueda leer/ver para entender esto mejor, estaría muy agradecido. He estado intentando resolver este problema muy simple desde ayer después de publicar mi última pregunta, viendo videos en YouTube sobre funciones, leyendo el material de mi libro de estudios, leyendo material en internet...

Desafortunadamente, los videos de YouTube solo cubren funciones muy básicas, no creo que tenga problemas específicamente con las funciones, más bien estoy luchando con cómo "construir" una función, y el material de mi libro solo cubre lo básico como siempre con muy pocos ejemplos simples.

De todos modos, aquí tienes el problema, como dice el título, necesito determinar la cardinalidad de $M$

$M = \{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid 2x + y \in \mathbb{N}$ y $x - 2y \in \mathbb{N} \}$

Ahora, tengo una pista al final del problema (lo que significa que debo resolver este problema usando esta pista), que dice lo siguiente:

Vamos a suponer que $2x + y = m$ y $x-2y = n$ y "resolver" una ecuación simple, lo cual me confundió aún más. Además, no se me permite usar el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Ahora, creo que es bastante obvio que la cardinalidad de $M$ es $\aleph_{0}$, porque "depende" de $\mathbb{N}$, y el conjunto "termina", cada vez que $\mathbb{N}$ "termina" (obviamente, nunca terminan realmente), o al menos eso es lo que pienso intuitivamente.

He visto este tema: Cuál es la cardinalidad de $A=\{(a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\mid 2a+b\in \mathbb{N}\text{ y }a-2b\in \mathbb{N}\}$

Pero aún no logro comprender la idea, por eso estoy pidiendo material para leer.

Cualquier ayuda sería apreciada.

¡Gracias!

Answer 1

Tu intuición es precisa.

Siguiendo la pista, sea $m=2x+y$ y $n=x-2y$. Sabemos que $m$ y $n$ son números naturales, y nos gustaría usar esta información para decir algo sobre los posibles valores de $x$ y $y. Eso nos recuerda a una situación más familiar: si tuviéramos valores específicos para $m$ y $n$, podríamos resolver esas dos ecuaciones para $x$ y $y. No tenemos valores específicos para $m$ y $n, pero al menos tenemos alguna información sobre ellos, por lo que podría ser útil resolver para $x$ y $y de todos modos.

Restando dos veces la segunda ecuación de la primera, encontramos que $m-2n=5y$. Sumando dos veces la primera a la segunda, encontramos que $2m+n=5x$. Así, tenemos la solución

$$\left\{\begin{align*} x&=\frac15(2m+n)\\\\ y&=\frac15(m-2n)\;. \end{align*}\right.\tag{1}$$

Sabemos que $m$ y $n$ son enteros, por lo que $2m+n$ y $m-2n$ son enteros. Por lo tanto,

$$M\subseteq\left\{\left\langle\frac{k}5,\frac{\ell}5\right\rangle:\langle k,\ell\rangle\in\Bbb Z\times\Bbb Z\right\}\;.\tag{2}$$

Espero que puedas mostrar que la cardinalidad del conjunto de la derecha en $(2)$ es $\aleph_0$, por lo que $M$ es finito, o $|M|=\aleph_0$. Y no es difícil mostrar que $M$ es infinito, por lo tanto $|M|=\aleph_0.

Ese último paso utiliza o bien el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein o el resultado de que un subconjunto infinito de un conjunto enumerable debe tener cardinalidad $\aleph_0$. Si ya tienes este último resultado, entonces este argumento funciona bien. Si no, necesitarás un enfoque ligeramente diferente, pero al menos confirma tu intuición.

Con un poco más de trabajo, podemos ver que $(1)$ define una biyección entre $M$ y $\Bbb N\times\Bbb N. Sea $\langle m,n\rangle\in\Bbb N\times\Bbb N$; sabemos que $m$ y $n$ determinan a un miembro $\langle x,y\rangle$ de $m$ por $(1)$, y sabemos que cada miembro de $(1)$ se puede producir de esta manera, por lo que $(1)$ define una sobreyección de $\Bbb N\times\Bbb N$ a $M. Ahora supongamos que $\langle m',n'\rangle\in\Bbb N\times\Bbb N$ también, y que $x'=\frac15(2m'+n')$ y $y'=\frac15(m'-2n'). No es difícil mostrar que si $\langle x,y\rangle=\langle x',y'\rangle$, entonces $\langle m,n\rangle=\langle m',n'\rangle: $$m'=2x'+y'=2x+y=m\;,$$ y similarmente $$n'=x'-2y'=x-2y=n\;.$$ Así, $(1)$ efectivamente define una biyección entre $\Bbb N\times\Bbb N$ y $M$.