¿Es $\ln\left( \frac{1+2x}{1-2x}\right)$ una función impar o par?

Question

¿Es $$f:\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \to \mathbb{R}, \ x \mapsto \ln\left( \frac{1+2x}{1-2x}\right)$$ una función impar o par?

La función se puede descomponer de la siguiente manera:

$$f(x)=\ln(1+2x)-\ln(1-2x)$$

Parece que esta función es una función impar pero no sé cómo justificarlo.

Answer 1

Una función impar debe satisfacer la ecuación $f(-x) = -f(x)$.

Sea $x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Entonces tenemos, como correctamente observaste \begin{align*} -f(x) = \ln(1 - 2x) - \ln(1 + 2x) = \ln(1 + 2(-x)) - \ln(1 - 2(-x)) = f(-x). \end{align*}

Nótese que una función siendo impar corresponde gráficamente a una simetría rotacional. Similarmente al gráfico de $x \mapsto x^3$ (el ejemplo estándar en mi opinión), cuando rotas el gráfico 180° con respecto al origen (o lo volteas sobre los ejes $y$ y luego $x$), terminas con el mismo gráfico.