¿Cómo puede ser mayor que $1$ una función de densidad de probabilidad (pdf)?

Question

El PDF describe la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dado:

$f(x)=P(X=x)$

¿Mi pregunta es si este valor puede llegar a ser mayor que $1$?

Cita de Wikipedia:

"A diferencia de una probabilidad, una función de densidad de probabilidad puede tomar valores mayores que uno; por ejemplo, la distribución uniforme en el intervalo $[0, \frac12]$ tiene una densidad de probabilidad $f(x) = 2$ para $0 \leq x \leq \frac12$ y $f(x) = 0$ en otros lugares."

Esto no estaba claro para mí, desafortunadamente. La pregunta ya ha sido formulada/contestado aquí antes, pero se utilizó el mismo ejemplo. ¿Alguien podría explicarlo de manera simple (usando un ejemplo de la vida real, etc.)?

Pregunta original:

"$X$ es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad $f$. Responder con Verdadero o Falso.

• $f(x)$ nunca puede exceder $1$."

¡Gracias!

EDITAR: Resuelto.

Answer 1

En las distribuciones de probabilidad continua, las probabilidades están asociadas con intervalos en lugar de puntos individuales. La función de densidad de probabilidad (PDF) representa la probabilidad de que una variable aleatoria caiga dentro de un intervalo específico. Mientras que la altura de la PDF en un punto particular puede ser mayor que uno, esto no representa directamente una probabilidad.

El concepto clave es que las probabilidades se definen sobre intervalos, y el área bajo la curva entre dos puntos distintos en el intervalo representa la probabilidad para ese intervalo específico. La integral de toda la función de densidad de probabilidad sobre todo su rango debe ser igual a uno, asegurando que la probabilidad total se tenga en cuenta.

En términos más simples, la altura de la curva en un punto dado no proporciona una probabilidad directa; en su lugar, es el área colectiva bajo la curva dentro de un intervalo lo que corresponde a la probabilidad de que la variable caiga dentro de ese intervalo.