¿Cómo puede ser mayor que $1$ una función de densidad de probabilidad (pdf)?

Question

El PDF describe la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dado:

$f(x)=P(X=x)$

¿Mi pregunta es si este valor puede llegar a ser mayor que $1$?

Cita de Wikipedia:

"A diferencia de una probabilidad, una función de densidad de probabilidad puede tomar valores mayores que uno; por ejemplo, la distribución uniforme en el intervalo $[0, \frac12]$ tiene una densidad de probabilidad $f(x) = 2$ para $0 \leq x \leq \frac12$ y $f(x) = 0$ en otros lugares."

Esto no estaba claro para mí, desafortunadamente. La pregunta ya ha sido formulada/contestado aquí antes, pero se utilizó el mismo ejemplo. ¿Alguien podría explicarlo de manera simple (usando un ejemplo de la vida real, etc.)?

Pregunta original:

"$X$ es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad $f$. Responder con Verdadero o Falso.

• $f(x)$ nunca puede exceder $1$."

¡Gracias!

EDITAR: Resuelto.

Answer 1

Las variables aleatorias discretas y continuas no se definen de la misma manera. La mente humana está acostumbrada a tener variables aleatorias discretas (ejemplo: para una moneda justa, -1 si la moneda muestra cruz, +1 si es cara, tenemos que $f(-1)=f(1)=\frac12$ y $f(x)=0$ en otro lugar). Mientras las probabilidades de los resultados de una variable aleatoria discreta sumen 1, está bien, así que tienen que ser a lo sumo 1.

Para una variable aleatoria continua, la condición necesaria es que $\int_{\mathbb{R}} f(x)dx=1$. Dado que una integral se comporta de manera diferente a una suma, es posible que $f(x)>1$ en un intervalo pequeño (pero la longitud de este intervalo no debe exceder 1).

La definición de $\mathbb{P}(X=x)$ no es $\mathbb{P}(X=x)=f(x)$ sino más bien $\mathbb{P}(X=x)=\mathbb{P}(X\leq x)-\mathbb{P}(X0$. Sin embargo, en el caso de una variable aleatoria continua, $F(x^-)=F(x)$ (por la definición de continuidad) así que $\mathbb{P}(X=x)=0$. Esto se puede ver como la probabilidad de elegir $\frac12$ al elegir un número entre 0 y 1 es cero.

En resumen, para variables aleatorias continuas $\mathbb{P}(X=x)\neq f(x)$.

Answer 2

Tu concepción de la función de densidad de probabilidad es incorrecta.

Lo estás confundiendo con la función de masa de probabilidad.

Si $f$ es una PDF entonces $f(x)$ no es una probabilidad y no tiene la restricción de que no puede exceder $1$.

Answer 3

Las funciones de densidad de probabilidad no son probabilidades, pero si $f(x)$ es una función de densidad de probabilidad, entonces $P=\int_{x_0}^{x_1} f(x) dx$ es una probabilidad y así $\int_{x_0}^{x_1} f(x) dx \leq 1$ para todos los $x_0, x_1$ ($x_0\leq x_1$).

Answer 4

Para agregar a las respuestas ya existentes y buenas, es fácil entenderlo a través de sus definiciones.

Para variable aleatoria discreta, la función de masa de probabilidad (pmf) denotada como $p_{_X}(x)$ nos da las probabilidades de que $X$ tome un valor discreto $x$, que siempre está entre 0 y 1.

Para variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf) denotada como $f_{_X}(x)$ nos muestra el "comportamiento no negativo" que $X$ tome un valor $x$, ¡esto no es una probabilidad! Pero al integrarla sobre el conjunto de soporte de $x$ debería ser igual a 1.

Creo que la confusión generalmente surge cuando a menudo asignamos la función de masa de probabilidad a variables aleatorias discretas y la función de densidad de probabilidad a su contraparte continua y pensamos que todas son probabilidades, una lo es y la otra no. Otra confusión también proviene del abuso de las notaciones que he visto muchas veces: $p_{_X}(x) = f_{_X}(x) = \mathbb{P} (X=x)$, puedes pensar que las dos igualdades son ciertas para ambas variables aleatorias discretas y continuas, lo cual no es cierto. Esto solo es cierto para el caso discreto.

Por lo tanto, evita abusar de las notaciones, utiliza estrictamente $p_{_X}(x)=\mathbb{P} (X=x)\in[0,1]$ para variables aleatorias discretas y utiliza estrictamente $f_{_X}(x)\ge 0$ para variables aleatorias continuas.

Answer 5

Aquí está una intuición:

La Densidad de Probabilidad existe en el espacio continuo. La Masa de Probabilidad existe en el espacio discreto.

La PDF $f(x)$ es la derivada de la CDF $F(x)$: $$f(x) = \frac{d(F(X))}{d(x)}$$

Así, para un rango dado de $x \in (x_1, x_2]$, podemos decir que la pdf es el cambio unitario en probabilidad acumulada al moverse de $x_1$ a $x_2$, es decir, $f(x)_{\{x_1,x_2\}} = \frac{F(x_2) - F(x_1)}{x_2 - x_1}$.

O, "¿Cuánto aumentará mi probabilidad de $X \in \{0,x_0\}$ si incluyo $\{x_1, x_2\}$ en mi rango, normalizado por el tamaño del rango $|\{x_1, x_2\}|$"?

Ahora puedes imaginar, si hay un rango altamente denso $(0, \frac{1}{2})$ con una probabilidad de 1 dentro de su rango (es decir, $F(1/2) - F(0) = 1$), entonces su densidad sería por lo tanto de 2.

$$f(x)_{(0, \frac{1}{2}]} = \frac{F(1/2) - F(0)}{1/2 - 0} = 2$$