Calcular $z^3 = |z|$

Question

Calcular $z^3 = |z|$

$z = 0$ es una solución

cuando $z$ no es cero, llego a $z^2 = z'$, ¿cómo sigo desde aquí?

Answer 1

Dado que $|z^3|=|z|^3$, obtenemos $|z|^3=|z|$. Las soluciones reales a esto son $0$ y $1$.

Si $|z|=0$, entonces $z=0$.

Si $|z|=1$, la ecuación se convierte en $z^3=1$, con soluciones $e^{\frac{2\pi i k}{3}}$, donde $k=0,1,2$.

Answer 2

En coordenadas polares, $z=re^{i\theta}$, entonces: $$r^3e^{3i\theta}=r$$ Si $r\neq0$, simplemente tienes que $3\theta=2\pi n$, o que:$$\theta=0, 2\pi/3, 4\pi/3$$ Y $r$ por supuesto debe ser igual a uno.

Answer 3

Al establecer $z=a+bi$, tenemos $$(a+bi)^6=a^2+b^2$$ y obtenemos $$a^6-15a^4b^2+15a^2b^4-b^6-a^2-b^2=0$$ $$ab(6a^4-20a^2b^2+6b^4)=0$$ De la segunda ecuación obtenemos $a=0$ o $b=0$ o $$6a^4-20a^2b^2+6b^4=0$$ esto es equivalente a $$6t^4-20t^2+6=0$$ con $t^2=u$ obtenemos $$6u^2-20u+6=0$$ esto significa que $u_1=3$ o $u_2=1/3$