¿Cómo encontrar la medida de Lebesgue del conjunto siguiente?

Question

Sea $A = \left \{x \in [0,1] \cap ({\mathbb{R}}- {\mathbb{Q}}) \left| \begin{array}{ll} {\textrm{en la expansión decimal de } x, \textrm { digamos } 0.{a_1}{a_2}{a_3}\ldots \\ \textrm{el primer 1 (si existe) es seguido por 2 }} \end{array} \right. \right \}$. ¿Cuál es la medida de $A$? Supongo que es 0. Pero no sé cómo proceder. Por favor, cualquier ayuda

Answer 1

Considera los siguientes conjuntos disjuntos \begin{eqnarray} A_i &=& \left\{x \in [0,1]\cap(\mathbb R -\mathbb Q)|\text{el primer $1$ en la expansión decimal de x existe y está seguido por $i$}\right\}\\ B &=& \left\{x \in [0,1]\cap(\mathbb R -\mathbb Q)|\text{x no tiene $1$'s en su expansión decimal}\right\} \end{eqnarray} Tu conjunto es $A_2$. Por simetría debería estar claro que $m[A_i] = m[A_j]$ para todo $i,j$, y también tenemos $[0,1]\cap (\mathbb{R}-\mathbb{Q}) = (\cup_0^9A_i) \cup B$. Dado que $m[[0,1]\cap (\mathbb{R}-\mathbb{Q})] = 1$, tenemos $1 = 10 m[A_2] + m[B]$. De esta respuesta, $m[B] = 0$, y así tenemos $m[A_2] = 1/10$.