Vectores: ¿Por qué $a_1\mathbf{x}+b_1\mathbf{y}+c_1\mathbf{z}=a_2\mathbf{x}+b_2\mathbf{y}+c_2\mathbf{z}\implies a_1=b_1$ etc?

Question

Estaba resolviendo este problema anteriormente:

Los puntos $X$, $Y$ y $Z$ tienen los vectores de coordenadas (tridimensionales) $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$, $\mathbf{z}$ respectivamente. Demuestra que las líneas que unen los vértices del triángulo XYZ con los puntos medios de los lados opuestos son concurrentes.

Mi problema es que en algún momento del problema terminé con ecuaciones de la forma $a_1\mathbf{x}+b_1\mathbf{y}+c_1\mathbf{z}=a_2\mathbf{x}+b_2\mathbf{y}+c_2\mathbf{z$ y la única forma en la que podía avanzar era asumiendo que esto implica $a_1=a_2$, $b_1=b_2$, $c_1=c_2. Desafortunadamente, no veo claramente por qué es así y solo asumí que era verdad para resolver el problema. (De hecho, obtuve la respuesta correcta de los vectores que pasan por el mismo punto $\frac{1}{3}(\mathbf{x+y+z})$ (y por lo tanto son concurrentes en este punto).

Una forma en la que intenté justificar esto (las igualdades mencionadas) es asumiendo (sin perder generalidad) que los vectores x, y, z no están en el mismo plano, y entonces esto significaría que forman una base para el espacio 3D (según mi libro de texto), lo que significa que las igualdades mencionadas sí se cumplen. La razón que di para poder asumir sin perder generalidad que los vectores no están en el mismo plano es que si están o no en el mismo plano no afecta la conclusión del problema, que simplemente se preocupa por demostrar la concurrencia de ciertas líneas. En otras palabras, si los vectores de posición están en el mismo plano, entonces rotar el triángulo para que los vectores de posición ya no estén en el mismo plano no afecta al triángulo y por lo tanto no afecta a la conclusión del problema.

¿Es correcta esta argumentación, o existe otra razón por la que se cumplen las igualdades?

Gracias

Editar: Mi pregunta es sobre el título, por favor, ignore el problema del centroide ya que solo lo mencioné para dar contexto.

Editar2: Así es como llegué a la ecuación. Primero dejé que los puntos medios de los lados opuestos a X sean $X_1$, y de manera similar para Y, Z. Claramente, $\vec X_1=\frac{\mathbf{y}+\mathbf{z}}{2}$. La línea $XX_1$ tiene dirección $$\vec{XX_1}=\vec X_1-\vec X=\frac{\mathbf{y}+\mathbf{z}}{2}-\mathbb{x}=\frac{\mathbf{y}+\mathbf{z}-2\mathbf{x}}{2}$$ por lo que su ecuación es $$\mathbf{r_x}=\mathbf{x}+a(\mathbf{y}+\mathbf{z}-2\mathbf{x})=(1-2a)\mathbf{x}+a\mathbf{y}+a\mathbf{z}.$$ Por simetría $$\mathbf{r_y}=b\mathbf{x}+(1-2b)\mathbf{y}+b\mathbf{z},\quad \mathbf{r_z}=c\mathbf{x}+c\mathbf{y}+(1-2c)\mathbf{z}.$$ Queremos el punto donde se cruzan estas líneas, y para esto solo necesitamos calcular el punto donde un par de ellas se cruzan y luego verificar que la tercera línea cruza ese punto. Por lo tanto, tenemos que resolver $$(1-2a)\mathbf{x}+a\mathbf{y}+a\mathbf{z}=b\mathbf{x}+(1-2b)\mathbf{y}+b\mathbf{z}$$ y aquí es donde encontré mi problema, pero como dije, solo asumí (e intenté justificar esta suposición usando el razonamiento de "vectores base" en el post principal) que $$1-2a=b,\quad a=1-2b,\quad a=b$$ $$\implies a=b=\frac{1}{3},$$ es decir, el punto común es $$\frac{1}{3}(\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}).$$ Es fácil verificar que esto se encuentra en la tercera línea cuando su parámetro es $c=\frac{1}{3}$.

Answer 1

No mencionas tu enfoque, pero creo que has elegido un enfoque demasiado complicado.

Los puntos medios de los lados son ${X+Y\over2}$, ${Y+Z\over2}$ y ${Z+X\over2}$, y las esquinas opuestas son $Z$, $X$ y $Y$ respectivamente. Ahora toma el punto a un tercio de la esquina opuesta y obtienes, por ejemplo:

$${2\over3}{X+Y\over2} + {1\over3}Z = {X+Y+Z\over3}$$

Haciendo lo mismo para los otros puntos medios y la esquina opuesta da el mismo resultado.

El truco aquí es darse cuenta de que se cruzarán en ${X+Y+Z\over3}$, pero esto se puede ver ya que necesitaría ser una combinación lineal de $X$, $Y$ y $Z$ y como tal línea es, por ejemplo, $\theta{X+Y\over2}+(1-\theta)Z$ el coeficiente de $X$ y $Y$ debe ser el mismo, similarmente el coeficiente de $Y$ y $Z$ debe ser el mismo. Así que tenemos que $\theta/2 = 1-\theta$, lo que significa que $\theta = 2/3$.

Answer 2

En álgebra y análisis, a menudo es mejor escribir una ecuación de la forma $X = Y$ en la forma $X - Y = 0$. Aquí, $$ a_{1}\Vec{x} + b_{1}\Vec{y} + c_{1}\Vec{z} = a_{2}\Vec{x} + b_{2}\Vec{y} + c_{2}\Vec{z} \tag{1} $$ es equivalente, después de reorganizar, a $$ (a_{1} - a_{2}) \Vec{x} + (b_{1} - b_{2}) \Vec{y} + (c_{1} - c_{2}) \Vec{z} = \Vec{0}. \tag{2} $$ Como Jyrki Lahtonen señala en los comentarios, una terna ordenada de vectores $(\Vec{x}, \Vec{y}, \Vec{z})$ se dice que es linealmente independiente si

Para todo $a$, $b$, $c$ reales, la ecuación $a \Vec{x} + b \Vec{y} + c \Vec{z} = \Vec{0}$ implica $a = b = c = 0$.

La ecuación (2) tiene esta forma con $a = a_{1} - a_{2}$, etc., entonces si tus vectores son linealmente independientes (es decir, sus extremos no son coplanares con el vector cero), entonces (2) implica $a_{1} = a_{2}$, etc., tal como dices.

El problema más profundo es que los extremos de tres vectores en un espacio vectorial arbitrario son coplanares y no hay nada en el problema que impida que el vector cero se encuentre en el plano del triángulo. De manera metafórica, esto significa (como JL señala) que tu demostración "contiene demasiada infraestructura". El argumento de Skyking evita este problema técnico; incluso funciona si los vértices son colineales.