Grupos cuyos todos los subgrupos normales son principales

Question

Mi motivación para esta pregunta proviene del Álgebra Universal: Una congruencia de un álgebra arbitraria $A$ se dice que es principal si está generada por un único elemento. En el caso de los anillos, esto es simplemente la noción de ideal principal y para los grupos es un subgrupo normal que es el cierre normal de un único elemento, más precisamente:

Un subgrupo normal de la forma $\langle x^G\rangle$ se llama subgrupo principal del grupo $G$. Decimos que $G$ es un grupo principal si cada subgrupo normal de $G$ es principal.

¿Existe alguna clasificación de grupos principales? ¿Existe al menos una clasificación de grupos principales nilpotentes (resolubles)?

La misma noción se puede definir para álgebras de Lie y también surgen las mismas preguntas para álgebras de Lie.

Answer 1

Consideremos el caso en que $G$ es un $p$-grupo finito. Se ha demostrado anteriormente que todos los subgrupos normales de $G$ son principales si y solo si $G$ es cíclico.

Uno podría intentar relajar la suposición, y no requerir que $G$ en sí mismo sea principal. Entonces $G / G_{2}$ también puede ser abeliano elemental de orden $p^{2}$. (Estoy escribiendo $G_{2} = [G, G]$, y $G_{i+1} = [G_{i}, G]$ para los términos de la serie central inferior). Ahora los cocientes no triviales $G_{i}/G_{i+1}$ son cíclicos, como se señaló anteriormente, y también abelianos elementales, ya que $G/G_{2}$ lo es. Por lo tanto, son cíclicos de orden $p$, y $G$ es un $p$-grupo de clase maximal, tal como lo define Blackburn.

Recíprocamente, todos los subgrupos normales propios de un $p$-grupo $G$ de clase maximal son principales. Recordemos que los subgrupos normales propios de dicho grupo $G$ son los términos $G_{i}$ de la serie central inferior y los subgrupos maximales. Ahora, si $x \in G_{i} \setminus G_{i+1}$, entonces $\langle x \rangle^{G}$ es un subgrupo normal de $G$ que está contenido en $G_{i}$, pero no en $G_{i+1}$. Por lo tanto, $G_{i} = \langle x^{G} \rangle$. Si $M$ es un subgrupo maximal de $G$, tomemos $m \in M \setminus G_{2}$ y tomemos $s \in G \setminus M$ como un elemento tal que $[G_{i}, s] = G_{i+1}$ para todos los $i$ (se sabe que esto existe por la teoría de tales grupos). Ahora $[m, s] \in G_{2} \setminus G_{3}$, y conmutando aún más con $s encontramos generadores para todos los $G_{i}/G_{i+1}$. Se deduce que $M = \langle m \rangle^{G}.

Answer 2

Mi respuesta inicial resultó ser débil. Así que voy a agregar algunas de las observaciones hechas en los comentarios, y convertir esta respuesta en comunidad wiki, para no recibir crédito.

1. Si G es principal, entonces los factores de su serie central superior, serie central inferior y serie derivada son cíclicos. Hay muchas otras consecuencias inmediatas de la definición: Si G es principal, entonces también lo son sus cocientes y sus subgrupos característicos. Tal grupo tiene la propiedad max-n. Si es hipercentral, entonces es nilpotente. Si es soluble, entonces es supersoluble.

2. Para grupos infinitos, la observación del párrafo anterior implica que el artículo de Baumslag y Blackburn ``Grupos con Factores Centrales Superiores Cíclicos'' es relevante.

3. Para $p$-grupos finitos, observe que cualquier grupo principal P es cíclico ya que el cociente de Frattini $P/[P,P]*P^p$ es unidimensional (de nuevo, esto se sigue del primer punto). Esto implica, en particular, que un grupo nilpotente finito y principal es cíclico.

4. En cuanto a los grupos solubles finitos y principales, bueno, las cosas son menos claras. Tenga en cuenta que $S_3$ es principal.

5. Si $G$ es un $p$-grupo finito tal que sus subgrupos normales propios son principales (el propio $G$ no es principal), entonces $G$ tiene clase máxima. La afirmación recíproca también es verdadera.

6. Si $G$ es un grupo nilpotente finito tal que sus subgrupos normales propios son principales, entonces $G$ es cíclico o es un grupo $p$-grupo de clase máxima.