¿Hay una referencia o un argumento muy corto que pruebe la siguiente afirmación?
Sea $C$ un conjunto formado por $r$ puntos en el espacio proyectivo real $\mathbb RP ^k$ con su métrica redonda habitual. Supongamos que las distancias entre todos los pares de puntos en $C$ son iguales. Supongamos además que $r>k+1$. Entonces $r$ debe ser igual a $k+2$ y $C$ debe ser la imagen del conjunto de vértices de un simplex regular inscrito en la esfera unitaria.
Los puntos equidistantes en el espacio proyectivo corresponden a líneas equiángulares en el espacio euclidiano. El número máximo de líneas equiángulares en $\mathbb R^n$, $f(n)$ es una función que puede que no sea tan agradable como piensas, algunos valores calculados están en OEIS. Por ejemplo, tu afirmación falla incluso en el caso $k=2$ donde puedes tomar las seis diagonales largas del icosaedro y obtener 6 puntos equidistantes en $\mathbb RP^2$. Un límite superior absoluto está dado por $f(n)\le \binom{n+1}{2}$ (atribuido a Gerzon en "Líneas equiángulares" por Lemmens y Siedel, demostrado nuevamente más tarde por Koornwinder en "Una nota sobre el límite absoluto para sistemas de líneas" en ambos casos real y complejo).
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