¿Cómo mostrar que dos secuencias de funciones convergen uniformemente al mismo límite?

Question

Estoy bastante confundido con la siguiente pregunta. Soy nuevo en matemáticas así que no estoy muy seguro.

Supongamos que $(f_n)_{n=1}^\infty$ y $(g_n)_{n=1}^\infty$ son dos secuencias de funciones que convergen uniformemente a ciertos límites.

Si el supnorm $\|f_n -g_m\|=\sup_y |f_n(y)-g_m(y)|\to 0$ a medida que $n$, $m$ tienden a $\infty$, ¿es cierto decir que $(f_n)_{n=1}^\infty$ y $(g_n)_{n=1}^\infty$ convergen uniformemente al mismo límite?

Creo que sí, ya que puedo construir cualquier nueva secuencia a partir de todas las $(f_n)_{n=1}^\infty$ y $(g_n)_{n=1}^\infty$. El hecho de que $\sup_y |f_n(y)-g_m(y)|\to 0$ asegura que la nueva secuencia sea convergente de Cauchy. Por lo tanto, la nueva secuencia converge a un límite. ¿Es esto cierto?

Por favor ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, te doy la bienvenida al mundo de Mathematics Stack Exchange.

Que el dominio de todas las funciones utilizadas aquí sea $D \subset \mathbb{R}$.

$\{f_n(y)\}$ converge uniformemente a la función $f(y)$ es decir, para cualquier número real positivo $\epsilon$ $\exists$ un número natural $k_1$ tal que $\forall$ $y \in D$ $| f_n(y) - f(y)| < \frac{\epsilon}{3}$ cuando $n > k_1$. Así, $\sup_{y}|f_n(y) -f(y)| < \frac{\epsilon}{3}$ cuando $n > k_1$.

De manera similar, para la secuencia de funciones $g_n(y)$ se tiene $\sup_{y}|g_n(y) - g(y)| < \frac{\epsilon}{3}$ cuando $n > k_2 \in \mathbb{N}$

Aplicando la desigualdad triangular se tiene $|f(y) - g(y)| < |f(y) - f_n(y) + f_n(y) - g_m(y) + g_m(y) - g(y)| < |f(y) - f_n(y) | + | f_n(y) - g_m(y)| + |g_m(y) - g(y)|$.

Así, $\sup_{y}|f(y) - g(y)| < \sup_{y}|f(y) - f_n(y) | + \sup_{y}| f_n(y) - g_m(y)| + \sup_{y}|g_m(y) - g(y)|$ $\forall$ $y \in D$.

Se tiene la desigualdad $\|f_n - g_n\| = \sup_{y} |f_n(y) - g_n(y)| < \epsilon$ cuando $n , m \rightarrow \infty$. Ahora, reemplaza $\epsilon$ por $\frac{\epsilon}{3}$ y obtén $\sup_{y} |f_n(y) - g_n(y)| < \frac{\epsilon}{3}$ cuando $n , m > k_3 \in \mathbb{N}$

Toma $k = \max\{k_1, k_2, k_3\}$ y aplica todas las desigualdades juntas. Así obtendrás
$$\sup_{y}|f(y) - g(y)| < \sup_{y}|f(y) - f_n(y) | + \sup_{y}| f_n(y) - g_m(y)| + \sup_{y}|g_m(y) - g(y)| < \epsilon$$ cuando $n , m >k$

$\epsilon$ es cualquier número positivo. Por lo tanto, puedes considerar $f(y) = g(y)$.