Estoy tratando de demostrar la convergencia de la siguiente secuencia: $x_{n+1}=0.5\left(x_n+\dfrac{2}{x_n}\right)$, para $n\geq 1$ y $x_1=2$ usando el Teorema de Convergencia de Monotonia para secuencias (es decir, una secuencia es convergente si es monótona y acotada). Evalué algunos valores de la secuencia para tener una idea de las cotas. Obtuve $x_1=2, x_2=1.5, x_3=1.41\bar{6}, x_4=1.414215, x_5=1.4142135$, por lo que parece que la cota inferior va a ser $\sqrt{2}.
Intenté usar inducción para demostrar que $\{x_n\}$ está acotada de la siguiente manera:
Caso Base: $n=1$
Dado que $x_1=2, \sqrt{2}\leq x_1\leq2$.
El Paso Inductivo: $n\implies n+1$
Suponiendo que $\sqrt{2}\leq x_n \leq 2$, queremos demostrar que $\sqrt{2}\leq x_{n+1} \leq 2$.
En esta etapa del proceso, tengo problemas para encontrar dónde podría estar acotado $x_{n+1}$.
$x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2}+\dfrac{1}{x_n}\\ \leq??$,
pero tengo problemas para encontrar una buena cota.
Luego, me gustaría mostrar que la secuencia es monótona.
No estoy seguro de cómo empezar esta parte de la demostración. ¿Quizás definir $f(x_n)=x_{n+1}?$
Una vez que sepa que la secuencia es tanto monótona como acotada, puedo concluir que la secuencia es, de hecho, convergente.
Cualquier pista para lo anterior sería apreciada. Gracias.
