Mínimo de una función continua

Question

Una función $f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}$ es continua y suave en $[a,b]$. ¿Cómo puedo demostrar que el mínimo de la función estará en los extremos o donde la derivada se anula?

El teorema del valor extremo establece que hay al menos un mínimo y un máximo. Sin embargo, estaba buscando una prueba de que el mínimo global está en los extremos o en la derivada.

EDICIÓN

Como se señaló en los comentarios, sería más apropiado decir si $f(c)$ es un mínimo, ¿cómo probamos que $c$ está en los extremos o $f'(c)=0$?

Answer 1

Supongamos que $f$ alcanza su mínimo en $x=c\in(a,b)$. entonces

$$\forall x\in(a,c) \;\;\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0$$

$$\implies \lim_{x\to c^-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c)\leq 0.$$

Puedes terminar para $x\in (c,b)$.

Answer 2

Prueba por contradicción para mostrar que el mínimo global está en los puntos finales o en un punto interior donde la derivada es cero.

Supongamos que no está en los puntos finales (digamos, en $x_0 \in(a,b)$) y la derivada es distinta de cero. Entonces para todo $\epsilon > 0$, existen $\delta > 0$ tal que $$\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\right|<\epsilon$$ para $|x-x_0|<\delta$. En otras palabras $$f'(x)-\epsilon <\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}x>x_0$ $$f(x)0$, podemos elegir un $\epsilon$ suficientemente pequeño tal que $$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$$ o en otras palabras para $x_0-\delta

Answer 3

Un mínimo ocurre en un punto no final $c$ si y solo si para cada $x\in[a,b]$ se tiene $f(c)\le f(x).$ Eso es equivalente a $f(x)-f(c)\ge0.

Si $x>c$, entonces $x-c>0$ por lo que $\dfrac{f(x) - f(c)}{x-c} \ge0.$ Por lo tanto $\displaystyle\lim_{x\,\downarrow\,0} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge0.

Si $x

Por lo tanto $\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ge0$ y $\displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \le0.

Por lo tanto $\displaystyle0\le\lim_{x\,\to\,0} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=0.