$y'' = qy$ con $q$ función positiva

Question

Estoy interesado en la siguiente ecuación diferencial: $y'' = qy$ donde $q: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+^*$ es una función continua y positiva.

Tomaré $y$ como la solución de la ecuación que satisface:

• $y(0) = 1$
• $y'(0) = a \in \mathbb{R}$

Tengo que demostrar que existe una constante $k$ tal que $y$ tenga un cero si y solo si $a < k$

Ya demostré que $y\times y'$ tiene a lo sumo un cero usando el teorema de Rolle También creo que $a < 0$ porque de lo contrario, $y$ sería una función creciente y nunca se anularía.

Gracias de antemano.

Answer 1

$y''=py$

$y''y'=pyy'$

$y'^2=py^2-\int p'y^2 dx$ por integración por partes.

Para una región infinitesimal alrededor de un cero de y, esa integral es cero. Esto implica que un cero de y ocurre para un cero de la primera derivada.

La segunda derivada siempre es no negativa, por lo que la primera derivada es monótonamente creciente. Una vez que es positiva, la primera derivada permanecerá positiva, por lo que solo tendrá un cero si tiene un valor inicial negativo.

La primera derivada superará cualquier valor inicial, por lo que cualquier $a<0$ funcionará. Por lo tanto, $k=0$.