Para $\nu$ una medida de probabilidad en $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, el conjunto ${x\in \mathbb{R} ; \nu(x) > 0}$ es a lo sumo numerable

Question

Dada una medida de probabilidad $\nu$ en $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, ¿cómo puedo demostrar que el conjunto (llamémoslo $S$) de todos los $x\in \mathbb{R}$ donde se cumple $\nu(x)>0$ es a lo sumo numerable?

Pensé en utilizar la aditividad numerable de medidas y el hecho de que tenemos $\nu(A) < 1$ para todos los subconjuntos numerables $A\subset S$. ¿Cómo puedo concluir rigurosamente?

Answer 1

Dado $n\in\mathbb N$, considera el conjunto $$A_n=\{x\in\mathbb R:\nu(\{x\})\geq\tfrac{1}{n}\}$$ Debe ser finito; de lo contrario, la probabilidad de $A_n$ sería infinita ya que $\nu$ es aditiva. Así, $A=\cup_{n\in\mathbb N}A_n$ es numerable como unión numerable de conjuntos finitos, pero está claro que $$A=\{x\in\mathbb R:\nu(\{x\})>0\}$$ así que ya has terminado.

Answer 2

Sea $S_n:=\{x,\nu(\{x\})\geq n^{-1}\}$. Usando la $\sigma$-aditividad, tenemos que $S_n$ es finito (en realidad, contiene a lo sumo $n$ elementos, ya que $\nu$ es una medida de probabilidad). Entonces $S=\bigcup_{n\geq 1}S_n$ es numerable al ser una unión de tales conjuntos.