¿Por qué los valores singulares son siempre no negativos?

Question

He leído que los valores singulares de cualquier matriz $A$ son no negativos (por ejemplo, Wikipedia). ¿Existe alguna razón para ello?

El primer paso posible para obtener la descomposición en valores singulares de una matriz $A$ es calcular $A^{T}A$. Luego, los valores singulares son la raíz cuadrada de los autovalores de $A^{T}A$. La matriz $A^{T}A$ es una matriz simétrica sin duda. Los autovalores de matrices simétricas son siempre números reales. Pero, ¿por qué en este caso los autovalores (o los valores singulares) son siempre no negativos también?

Answer 1

Suponga que $A$ es real por simplicidad. El conjunto de matrices (ortogonales, diagonales, ortogonales) $(U, \Sigma, V)$ tales que $A = U \Sigma V^T$ no es un conjunto unitario. De hecho, si $A = U \Sigma V^T$ entonces también

$$A = (-U)(-\Sigma)V^T = U (-\Sigma)(-V^T) = (UD_1)(D_1 \Sigma D_2)(V D_2)^T$$ para cualquier matriz diagonal $D_1$ y $D_2$ con solo $1$ o $-1$ en la diagonal. Por lo tanto, la positividad de los valores singulares es puramente convencional.

Answer 2

Estoy asumiendo que la matriz $A$ tiene entradas reales, de lo contrario deberías estar considerando $A^*A$ en su lugar.

Si $A$ tiene entradas reales, entonces $A^TA$ es semidefinida positiva, ya que $$\langle A^TAv,v\rangle=\langle Av,Av\rangle\geq 0$$ para todo $v$. Por lo tanto, los valores propios de $A^TA$ son no negativos.

Answer 3

Creo que tu pregunta es muy interesante. Tomemos algún valor singular no nulo $\sigma_i$. Podemos invertir el signo si es positivo. Es decir, $-\sigma_i = - \sqrt{\lambda_i^2}=-\lambda_i$ donde $\lambda_i^2$ es un autovalor de $A^T A$ corresondiente a un autovector $v_i$. Es decir $A^T A v_i = \lambda_i^2 v_i$. ¿Quién nos puede detener de escribir en cambio $A^T A (-v_i) = \lambda_i^2 (-v_i)$? Esto significa que podemos invertir el signo de un valor singular, pero luego necesitamos ir a la matriz $V$ e invertir el signo de su columna de autovector correspondiente.

Por lo tanto, no hay una manera única de escribir $A=U \Sigma V^T$. Pero si decidimos que todos los $\sigma_i$ son no negativos, entonces "sí" hay una manera única de escribir $A=U \Sigma V^T$. Por supuesto, todos los $\sigma_i$ están ordenados de mayor a menor (de lo contrario habría un montón de posibilidades al permutar cualquier par de columnas de $U$ y $V$ y sus correspondientes autovalores).

Answer 4

Supongamos que $T \in \mathcal{L}(V)$, es decir, $T$ es un operador lineal en el espacio vectorial $V$. Entonces los valores singulares de $T$ son los eigenvalues del operador positivo $\sqrt{T^* \; T}$. Los eigenvalues de un operador positivo son no negativos.

• ¿Por qué es $\sqrt{T^* \; T}$ un operador positivo? Consideremos $S = T^* \; T$. Entonces $S^* = (T^* \; T)^* = T^*\;(T^*)^* = T^*\;T=S$, y por lo tanto $S$ es autoadjunto. Además, $\langle Sv, v \rangle = \langle T^*\,T v, v \rangle = \langle Tv, Tv \rangle \geq 0$ para cada $v \in V$. Por lo tanto, $S$ es positivo. Ahora, cada operador positivo tiene una raíz cuadrada positiva única, la cual, para $S$, estoy denotando con $\sqrt{T^* \; T}$.
• ¿Por qué los eigenvalues de un operador positivo son no negativos? Si $S$ es un operador positivo, entonces $0 \leq \langle Sv, v \rangle = \langle \lambda v, v \rangle = \lambda \langle v, v \rangle$, y por lo tanto $\lambda$ es no negativo.