Encuentra todos los valores de $a\in (0,\infty)$ tales que $a^x=2x+1$ tenga solo una solución real.

Question

Encuentra todos los valores de $a\in (0,\infty)$ tal que $a^x=2x+1$ solo tenga una solución real. Intenté usar derivadas, pero no pude descubrirlo. ¿Alguien me puede ayudar, por favor?

Answer 1

Pista: Define $$f(x)=\frac{\ln(2x+1)}{\ln(a)}-x$$ y usa cálculo.

Answer 2

Pista. La ecuación $a^x=2x+1$ tiene al menos la solución $x=0$.

i) Si $0 entonces$a^x$es decreciente y$2x+1$ estrictamente creciente y por lo tanto la solución es única.

ii) Si $a>1$ entonces $a^x$ es estrictamente convexa y tenemos solo una solución si y solo si la recta $y=2x+1$ es tangente a la gráfica de $a^x$ en $x=0$.

Answer 3

Pista:

Grafica (aproximadamente, la trama no necesita ser particularmente precisa) las funciones $a^x$ y $2x+1$ para los siguientes valores de $a$:

• $a=\frac12$
• $a=\frac13$
• $a=\frac14$
• $a=1$
• $a=2$
• $a=3$
• $a=4$

¿Puedes notar un patrón?

Subpista:

Cuando grafiques, solo necesitas tener cuidado con:

1. Qué sucede con las funciones en $x\to-\infty$
2. Qué sucede con las funciones alrededor de $x=0$
3. Qué sucede con las funciones en $x\to\infty$