Solicitud de integrales locas

Question

Soy un fanático de las integrales exóticas como la evaluada en esta publicación. Realmente no sé por qué, pero simplemente no puedo tener suficiente de las increíbles formas cerradas que algunos pueden idear.

Entonces, ¿cuáles son tus identidades integrales exóticas favoritas y cómo las pruebas?

Answer 1

Aquí están algunos de mis favoritos: $$\int_0^\pi \sin^2\Big(x-\sqrt{\pi^2-x^2}\Big)dx=\frac{\pi}{2}$$ $$\int_0^\infty \frac{\ln(x)}{(1+x^{\sqrt 2})^\sqrt{2}}dx=0$$ $$\int_0^\infty \frac{dx}{(1+x^{1+\sqrt{2}})^{1+\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\int_{-\infty}^\infty \ln(2-2\cos(x^2))dx=-\sqrt{2\pi}\zeta(3/2)$$ $$\int_0^\infty \frac{\text{erf}^2(x)}{x^2}dx=\frac{4\ln(1+\sqrt{2})}{\sqrt{\pi}}$$ $$\int_0^\infty \frac{x^{3}\ln(e^x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+x+1)-x^4}{\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+x+1}=\frac{\pi^2}{2}$$ $$\int_0^{\pi/2} \ln(x^2+\ln^2(\cos(x)))dx=\pi\ln(\ln(2))$$ $$\int_0^\infty \frac{\arctan(2x)+\arctan(x/2)}{x^2+1}dx=\frac{\pi^2}{4}$$ $$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(x+100\tan(x))}{\sin(x)}dx=\frac{\pi}{2}$$ $$\int_0^1 \frac{x\ln(1+x+x^4+x^5)}{1+x^2}dx=\frac{\ln^2(2)}{2}$$ $$\int_0^{1/2}\sin(8x^4+x)\cos(8x^4-x)\cos(4x^2)xdx=\frac{\sin^2(1)}{16}$$

$$\int_0^{2\pi} \sqrt{2+\cos(x)+\sqrt{5+4\cos(x)}}dx=4\pi$$

Y aquí hay cuatro integrales extremadamente exóticas deliciosas:

$$\int_0^1 \frac{\sin(\pi x)}{x^x (1-x)^{1-x}}dx=\frac{\pi}{e}$$ $$\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(e^x-x)^2+\pi^2}=\frac{1}{1+\Omega}$$

$$\int_0^\infty \frac{3\pi^2+4(z-\sinh(z))^2}{[3\pi^2+4(z-\sinh(z))^2]^2+16\pi^2(z-\sinh(z))^2}dz=\frac{1}{8+8\sqrt{1-w^2}}$$

$$\int_0^{\pi/2}\ln|\sin(mx)|\ln|\sin(nx)|dx=\frac{\pi^3}{24}\frac{\gcd^2(m,n)}{mn}+\frac{\pi \ln^2(2)}{2}$$

...donde $\Omega$ es la Constante Omega, $w$ es el Número Dottie, y $m,n\in\mathbb N$.

Answer 2

Aquí tienes algunos enlaces a algunas integrales: 1 (Gran lista, pero no todas obtuvieron la respuesta correcta). Desde AoPS: 2, 3 , 4. Algunas que son solubles con el truco de Feynman: aquí.

En cuanto a mis favoritas (la mayoría de las cuales aparecieron en Revista de Matemáticas Rumana), algunas son: $$I_1=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\arctan(\tan x\sec x)}{\tan x +\sec x}dx=\frac{\pi}{2}\ln 2 -\frac{\pi}{6}\ln(2+\sqrt 3)$$ $$I_2=\int_0^\infty \exp\left(-\frac{3x^2+15}{2x^2+18}\right)\cos\left(\frac{2x}{x^2+9}\right)\frac{dx}{x^2+1}=\frac{\pi}{e}$$ $$I_3=\int_0^1 \frac{\ln^2 (1+x) (\ln^2 (1+x) +6\ln^2(1-x))}{x}dx=\frac{21}{4}\zeta(5)$$ $$I_4=\int_0^\infty \frac{\ln x}{(\pi^2+\ln^2 x)(1+x)^2}\frac{dx}{\sqrt x}=-\frac{\pi}{24}$$ $$I_5=\int_0^\infty \frac{1-\cos x}{8-4x\sin x +x^2(1-\cos x)}dx=\frac{\pi}{4}$$ $$I_6=\int_0^\infty \frac{\arctan x}{x^4+x^2+1}dx=\frac{\pi^2}{8\sqrt{3}}-\frac{2}{3}G+\frac{\pi}{12}\ln(2+\sqrt{3})$$ $$I_7=\int_0^\infty \frac{\ln(1+x)}{x^4-x^2+1}dx=\frac{\pi}{6}\ln(2+\sqrt 3)+\frac23 G -\frac{\pi^2}{12 \sqrt 3}$$ $$I_8=\int_0^1 \frac{\ln(1-x^2)\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx=\frac{\pi^3}{32}-3G\ln 2+\frac{\pi}{2}\ln^22.$$ $$I_{9}=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(2+\sqrt{1-\tan^2 x}\right)dx = \frac{\pi}{2}\ln\left(1+\sqrt{2}\right)+\frac{7\pi}{24}\ln2-\frac{\pi}{3}\ln\left(1+\sqrt{3}\right)-\frac{G}{6}$$ $$I_{10}=\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin \left(x-\frac{1}{x}\right) }{x+\frac{1}{x}}dx=\frac{\pi}{e^2}$$ $$I_{11}=\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos \left(x-\frac{1}{x}\right) }{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}dx=\frac{\pi}{2e^2}$$ $$I_{12}=\int_0^1 \frac{\ln(1-x)\ln(1-x^4)}{x}dx=\frac{67}{32}\zeta(3)-\frac{\pi}{2} G$$ $$I_{13}=\int_0^\frac{\pi}{2} x^2 \sqrt{\tan x}dx=\frac{\sqrt{2}\pi(5\pi^2+12\pi\ln 2 - 12\ln^22)}{96}$$ $$I_{14}=\int_0^\frac{\pi}{4} \operatorname{arcsinh} (\sin x) dx=G-\frac58\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)$$ $$I_{15}=\int_0^\frac{\pi}{2} x \arcsin \left(\sin x-\cos x\right)dx=\frac{\pi^3}{96}+\frac{\pi}{8}\ln^2 2$$ $$I_{16}=\int_0^\infty \int_0^\infty \frac{\ln(1+x+y)}{xy\left((1+x+y)(1+1/x+1/y)-1\right)}dxdy=\frac72 \zeta(3)$$ Donde $G$ es la constante de Catalan y $\operatorname{Cl}_2 (x)$ es la función de Clausen.

Answer 3

Es posible que encuentres muchas integrales y series locas en el libro (Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series. Algunos ejemplos de integrales,

$$\int_0^{\pi/2} \cot (x) \log (\cos (x)) \log ^2(\sin (x)) \operatorname{Li}_3\left(-\tan ^2(x)\right) \textrm{d}x$$ $$ =\frac{109}{128}\zeta(7)-\frac{23}{32}\zeta(3)\zeta(4)+\frac{1}{16}\zeta(2) \zeta(5);$$ $$ \int_0^{\log(1+\sqrt{2})} \coth (x) \log (\sinh (x)) \log \left(2-\cosh ^2(x)\right)\text{Li}_2\left(\tanh ^2(x)\right) \textrm{d}x$$ $$ =\frac{73}{128}\zeta(5)-\frac{17}{64}\zeta(2)\zeta(3);$$ $$\int_0^1 \frac{\displaystyle\log^2(1-x)\operatorname{Li}_3\left(\frac{x}{x-1}\right)}{1+x} \textrm{d}x$$ $$=\frac{1}{36} \log ^6(2)-\frac{1}{6}\log ^4(2)\zeta (2)+\frac{7}{24} \log ^3(2) \zeta (3)+\frac{5}{8}\log ^2(2) \zeta (4)-\frac{581}{48} \zeta (6)$$ $$ -\frac{7}{8} \log (2) \zeta (2)\zeta (3)-\frac{79}{64} \zeta^2 (3);$$

$$ \sin (\theta)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\int_0^1 \frac{\displaystyle x}{(1-x) \left(1-2 x \cos (\theta)+x^2\right)} (\zeta (m+1)-\text{Li}_{m+1}(x)) \textrm{d}x$$ $$ =(-1)^{m-1} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k+1}}{(k+1)^{m+1}}\sin\left(\frac{k \theta}{2}\right)\sin\left(\frac{(k+1)\theta}{2}\right)$$ $$ +(-1)^{m-1}\sum_{i=2}^{m} (-1)^{i-1}\zeta(i)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\displaystyle \sin\left(\frac{k\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{(k+1) \theta}{2}\right)}{(k+1)^{m-i+2}};$$ $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\int_0^1\frac{x(\cos(\theta)-x)}{(1-x)(1-2x\cos(\theta)+x^2)}(\zeta (m+1)-\text{Li}_{m+1}(x))\textrm{d}x$$ $$ =(-1)^{m-1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k+1}}{(k+1)^{m+1}}\sin\left(\frac{k\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{(k+1)\theta}{2}\right)$$ $$ +(-1)^{m-1}\sum_{i=2}^{m}(-1)^{i-1} \zeta(i)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\displaystyle \sin\left(\frac{k\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{(k+1)\theta}{2}\right)}{ (k+1)^{m-i+2}}.$$

Algunos ejemplos de series (que también puedes transformar en algunas integrales sofisticadas si así lo deseas),

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^2}\left(\frac{ H_1}{1^3}+\frac{H_2}{2^3}+\cdots +\frac{H_n}{n^3} \right)=10\zeta(7)+\frac{9}{2}\zeta(2)\zeta(5)-\frac{23}{2}\zeta(3)\zeta(4);$$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3}\left(\frac{H_1}{1^2}+\frac{H_2}{2^2}+\cdots +\frac{H_n}{n^2} \right)=\frac{23}{2}\zeta(3)\zeta(4)-\frac{11}{2}\zeta(2)\zeta(5)-4\zeta(7);$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{n^2}\left(\frac{H_1}{1^2}+\frac{H_2}{2^2}+\cdots +\frac{H_n}{n^2} \right)=\frac{45}{16}\zeta(7)-\frac{7}{2}\zeta(2)\zeta(5)+\frac{17}{2}\zeta(3)\zeta(4);$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^2}\left(\frac{H_1^2}{1^2}+\frac{H_2^2}{2^2}+\cdots +\frac{H_n^2}{n^2} \right)=\frac{93}{8} \zeta(7)+\frac{11}{2}\zeta(2)\zeta(5)-\frac{51}{4}\zeta(3)\zeta(4);$$ $$ \zeta(4)$$ $$ =\frac{8}{5}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{H_n H_{2 n}}{n^2}+\frac{64}{5}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{ \left(H_{2 n}\right)^2}{ (2 n+1)^2}+\frac{64}{5}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{H_{2 n}}{(2 n+1)^3}$$ $$ -\frac{8}{5}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\left(H_{2 n}\right){}^2}{ n^2}-\frac{32}{5}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{H_n H_{2 n}}{(2 n+1)^2}-\frac{64}{5}\log(2)\sum _{n=1}^{\infty } \frac{H_{2 n}}{(2 n+1)^2}-\frac{8}{5}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{H_{2 n}^{(2)}}{ n^2}.$$

Integrales extremadamente locas también puedes encontrar en el artículo La derivación de dieciocho integrales logarítmicas especiales desafiantes por Cornel Ioan Valean.

Estoy seguro de que también encontrarás muchas integrales locas en la secuela del libro (Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series ya que el autor está preparando una continuación de este libro.

Answer 4

$$\int_{-\infty}^\infty\prod_{k=1}^n\operatorname{sinc}{\theta\over(2k-1)}d\theta=\pi ,$$siempre que $n\in{1 ... 7}$ ... para $n\geq8$, comienza a ser $<π$ por cantidades mínimas!

Answer 5

Me inclino por el que se menciona en esta pregunta ¿Cuál es el centroide de $z=\frac{1}{(1-i\tau)^{i+1}},\ \ \tau\in (-\infty,\infty)$ .

Encontré una solución, pero apenas era elegante. Sería agradable encontrar una solución que no utilice funciones hipergeométricas en medio de la solución.