Según entiendo, los mapas enraizados en superficies fueron introducidos por primera vez en combinatoria enumerativa porque son más fáciles de contar que los mapas no enraizados, que pueden tener simetrías no triviales. Un mapa es un grafo $G$ incrustado en una superficie $X$ (de manera que cada cara en $X \setminus G$ sea homeomorfa a un disco), mientras que un mapa enraizado es esencialmente un mapa junto con una elección de un punto, es decir, una arista junto con una orientación de esa arista. (El "esencialmente" se debe a que, con fines de conteo, también es conveniente considerar el mapa de vértices ---con un vértice y ninguna arista--- como enraizado por convención.) Los mapas enraizados siempre se consideran hasta homeomorfismo que preserva el punto. Una noción similar de enraizamiento se extiende a los hipermapas, que son mapas equipados con una bicoloración de vértices.
Me interesa saber si la idea de enraizar tiene alguna motivación independiente para los dessins d'enfants, es decir, al ver un hipermapa como una representación de una función de Belyi $f : X \to \bar{\mathbb{C}}$. Parece que una "función de Belyi enraizada" correspondería a un triple $(X,f,\gamma)$, donde $\gamma : [0,1] \to X$ es un camino que no contiene otros puntos críticos de $f$ además de $\gamma_0$ y $\gamma_1$ y tal que $f(\gamma) = [0,1]. (¿Hay una mejor manera de expresarlo?)
¿Es un concepto natural desde el punto de vista de la geometría algebraica, o algo similar ya ha sido estudiado antes?
