Si se me da una matriz, por ejemplo $A = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\[0.3em] 0.2 & 0.5 & 0.3 \\[0.3em] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,
¿cómo calculo la matriz fraccionaria como $A^{\frac{1}{2}}, A^{\frac{3}{2}}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si una matriz es diagonalizable, entonces diagonalícela, $A=PDP^{-1}$ y aplique la potencia a la diagonal
$$A^n=PD^n P^{-1}$$
Los valores diagonales se actúan individualmente.
octave da:
$$P=\begin{bmatrix} 0.85065 & -0.52573 & 0.57735\\ 0.52573 & 0.85065 & 0.57735\\ 0.00000 & 0.00000 & 0.57735\end{bmatrix}$$
$$D=\operatorname{diag}(0.82361, 0.37639,1)$$ Me doy cuenta de que esto es una fealdad numérica pero no tengo un software de manipulación simbólica a mano desde esta computadora. Sin embargo, los valores propios son diferentes, por lo que esta es una diagonalización.
La raíz cuadrada es $$\sqrt{A}= \begin{bmatrix}0.82626 & 0.13149 & 0.04225\\ 0.13149 & 0.69477 & 0.17374\\ 0.00000 & 0.00000 & 1.00000\end{bmatrix}$$
Esta definición satisface el requisito para raíces de que $(A^{1/p})^p=A$ para matrices definidas positivas (así como con $\sqrt{x}$ para escalares).
De manera similar, puedes definir funciones en matrices a través de sus series de potencias. Por ejemplo, $e^A=P \exp(D)P^{-1}$ está perfectamente bien definido para matrices diagonalizables.
Los criterios de convergencia y el dominio de estas funciones se generalizan y generalmente implican condiciones para los valores propios, definición positiva, simetría, ortogonalidad, y así sucesivamente.
Nota que el término raíz cuadrada de una matriz a veces se usa para representar una descomposición de Cholesky, que en cambio funciona como $A=LL^T$ donde $L$ es una matriz triangular inferior. Esto no es la raíz cuadrada en el sentido más estricto, pero funciona como tal para algunos procedimientos numéricos.
