Supongamos que $G$ es un grupo finito, $G$ es nilpotente si y solo si cada grupo cociente de $G$ no tiene centro trivial.

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito, $G$ es nilpotente si y solo si cada grupo cociente de $G$ no tiene centro trivial.

Cualquier pista o guía sería genial, estoy realmente atascado en este, gracias.

Answer 1

Siguiendo la pista de Jack: la serie central superior

$$1=: Z_0\le Z_1\le\ldots\le Z_m=G\;,\;\;\text{con}\;\;Z_i/Z_{i-1}=Z\left(G/Z_{i-1}\right)\;,\;\;z=1,...,m$$

Por lo tanto, necesitamos demostrar que existe $\;x\in G\;\;tal\;\;que\;\;[x,g]\in N\;\;\forall\,g\in G\;$

Supongamos $\;N\neq 1\,,\,G\;$ , y tomemos el índice maximal

$$\;0< i_0< m\;\;\;\text{tal que}\;\; \;Z_{i_0}\le N\;\;\;\text{(y así}\;Z_{i_0+1}\lneqq N\,)$$

(observar que $\;N\neq 1\,,\,G\implies 0

$$\forall x\in G\;,\;\;xZ_{i_0}\in \overbrace{Z\left(G/Z_{i_0}\right)}^{=Z_{i_0+1}/Z_{i_0}}\implies [x,g]\in Z_{i_0}\le N\;\;\forall \,g\in G\implies Z(G/N)\neq 1\;$$

y notar que ahora podemos elegir $\;x\notin N\;$ ...

Answer 2

Otra prueba se realiza por inducción en el orden. Por la hipótesis $Z(G) \ne \{1\}$, y luego por la suposición inductiva $G/Z(G)$ es nilpotente, ya que un cociente de $G/Z(G)$ es también un cociente de $G.

Así que para algún $n$ tenemos $$ \gamma_{n}\left(\frac{G}{Z(G)}\right) = \frac{\gamma_{n}(G) Z(G)}{Z(G)} = \frac{Z(G)}{Z(G)}, $$ entonces $\gamma_{n}(G) \le Z(G)$ y $\gamma_{n+1}(G) = \{1\}$.

Aquí $\gamma_{n}(G)$ es el $n$-ésimo término de la serie central inferior.