¿Cómo puedo expresar $(1+2+\dots+(k+1))^2$ usando un $\sum$ en su lugar?

Question

Buenos días desde México, estoy en mi primer semestre de Matemáticas y comencé a probar por inducción que: $$\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2$$

Esta pregunta ha sido respondida antes, tres veces en realidad, pero no con el enfoque que estoy buscando, así que estoy atascado aquí (Sé que puedo hacerlo con otros enfoques como $((n(n+1))/2)^2$, pero quiero saber si es posible hacer esto):

$$\sum_{i=0}^k i^3 +(k+1)^3= \left(\sum_{i=0}^k i\right)^2+...$$

Al lado del $+$ intenté con $(k+1)^2$ (lo cual obviamente no iguala mi ecuación) pero después de probar con valores para verificar, supe que estaba equivocado. Así que mi pregunta después de todo: ¿Es posible expresar: $(1+2+3+...+(k+1))^2$ con sigma?

A partir de ese punto puedo terminar de probarlo. Gracias.

Answer 1

$$ \left(\sum_{i=0}^{k+1} i\right)^2=\left(\left(\sum_{i=0}^{k} i\right)+k+1\right)^2=\left(\sum_{i=0}^{k} i\right)^2+2\left(\sum_{i=0}^{k} i\right)(k+1)+(k+1)^2$$

$$=\left(\sum_{i=0}^{k} i\right)^2+k(k+1)^2+(k+1)^2=\left(\sum_{i=0}^{k} i\right)^2+(k+1)^3$$

$$=\left(\sum_{i=0}^{k} i^3 \right)+(k+1)^3= \sum_{i=0}^{k+1} i^3 . $$

¿Era eso lo que querías?

Answer 2

La idea es $\sum_{i=0}^{k+1} i^3 = [\sum_{i=0}^{k} i^3] + (k+1)^3$.

Así que si asumes que $\sum_{i=0}^k i^3 = (\sum_{i=0}^k i)^2$ entonces

Entonces sabes que $\sum_{i=0}^{k+1} i^3 =$

$[\sum_{i=0}^{k} i^3] + (k+1)^3 = (\sum_{i=0} i)^2 + (k+1)^3$

....

Y ahora el trabajo que tienes por delante es probar que

$(\sum_{i=0}^k i)^2 + (k+1)^3 = (\sum_{i=0}^{k+1} i)^2$

Y lo probaría notando que

$(\sum_{i=0}^{k+1} i)^2 = ([\sum_{i=0}^k i] + (k+1))^2$

¿Puedes terminar?

¿Y si te das cuenta de que

$ ([\sum_{i=0}^k i] + (k+1))^2=$

$[\sum_{i=0}^k i]^2 + 2[\sum_{i=0}^k i](k+1) + (k+1)^2$.

Nota que lo que necesitas probar es

$ (\sum_{i=0}^{k+1} i)^2= \color{blue}{(\sum_{i=0}^k i)^2} + (k+1)^3$

Y lo que tienes es

$(\sum_{i=0}^{k+1} i)^2 = ([\sum_{i=0}^k i] + (k+1))^2=\color{blue}{(\sum_{i=0}^k i)^2} + 2[\sum_{i=0}^k i](k+1) + (k+1)^2$

Así que lo que necesitas probar AHORA es

$(k+1)^3 = 2[\sum_{i=0}^k i](k+1) + (k+1)^2$

¿Puedes hacer eso?

Answer 3

Puedes empezar dividiendo la suma así:

$$ \left(\sum_{i=0}^{k+1}i\right)^2 = \left(\sum_{i=0}^{k}i\right)^2 + 2(k+1)\left(\sum_{i=0}^{k}i\right) + (k+1)^2 $$

Entonces sabes (o demuestras) que $2(k+1)\left(\sum_{i=0}^{k}i\right)=k^3+2k^2+k$, y al reescribir la igualdad obtienes

$$ \sum_{i=0}^k i^3 + (k+1)^3 = \left(\sum_{i=0}^{k+1}i\right)^2 + k^3+3k^2+3k+1 \\= \left(\sum_{i=0}^{k+1}i\right)^2 + 2(k+1)\left(\sum_{i=0}^{k}i\right) +(k+1)^2 .$$

Answer 4

Si conoces cálculo puedes expresar esto como el cuadrado de la integral de la función $f(x)=x$

$$\left(\int_0^x \tau d\tau\right)^2 = ([\tau^2/2]_{0}^{x})^2 = x^4/4$$ y el otro lado de la igualdad es la integral de la función $g(x) = x^3$

$$\int_0^x \tau^3 d\tau = [\tau^4/4]_{0}^{x} = x^4/4$$