En cualquier modelo que pretenda incluir la dinámica microscópica del proceso de medición en sí mismo, de modo que los detalles del equipo de medición formen parte del estado inicial, la ocurrencia (o no) de una medición depende del estado inicial $|\psi\rangle$, al igual que sucede en el mundo real. La ocurrencia de una medición depende en gran medida del estado.
(Por "modelo", me refiero a un modelo que respete los principios generales usuales de la teoría cuántica. La electrodinámica cuántica no relativista es un "modelo". La cromodinámica cuántica es otro "modelo". Y así sucesivamente. Solo física cuántica estándar, sin modificaciones especulativas).
Un operador unitario no puede lograr una proyección porque eso contradice directamente la definición de "unitario": Los operadores unitarios preservan productos internos. Las proyecciones no lo hacen.
Lo que puede suceder en la teoría cuántica es que un estado inicial apropiadamente elegido $|\psi\rangle$ en un modelo suficientemente rico puede evolucionar, a través de una evolución temporal unitaria ordinaria, en un estado de la forma $\sum_n |n\rangle$, donde los $|n\rangle$ son casi exactamente ortogonales entre sí, y permanecen casi exactamente ortogonales después de aplicar cualquier proyección correspondiente a cualquier medición futura prácticamente factible (ver el Ejemplo, abajo). Esta última parte es la forma en que la teoría cuántica nos indica que podríamos aplicar una proyección sobre uno de esos términos $|n\rangle$. La teoría cuántica no puede decirnos cuál (solo puede decirnos sus frecuencias relativas a través de la regla de Born), pero empíricamente experimentamos solo uno, y ese es al que deberíamos proyectar.
Por lo tanto, parece que ni un proceso de medición ni una evolución unitaria pueden actuar como el proceso de proyección en el sentido de la frase definida aquí.
Así es. La evolución unitaria ciertamente no puede lograr una proyección, y tampoco un proceso de medición si este último se describe como un proceso físico cuya dinámica microscópica está gobernada por la teoría cuántica. En la teoría cuántica, la proyección es solo algo que hacemos en papel para dar cuenta de lo que aprendimos de realmente hacer la medición en el mundo real; es un dispositivo contable, no un proceso físico. Sea lo que sea que esta situación pueda decir sobre las limitaciones de la teoría cuántica, es un tema separado, parte del infame problema de la medición, que está más allá del alcance de Physics SE.
Ejemplo
Los ejemplos exactamente resolubles que incluyen la dinámica del proceso de medición son raros y generalmente inventados; pero con la ayuda de un poco de intuición matemática, se pueden deducir ejemplos más realistas. Para ilustrar la idea, aquí hay un ejemplo.
En una medición, el objeto de interés debe influir de alguna manera en su entorno, porque de lo contrario no se obtendría información sobre el objeto. Por lo tanto, para que la Mecánica Cuántica describa el proceso de medición, debemos usar algún tipo de modelo de múltiples partículas para que el entorno pueda ser influenciado por el objeto de interés.
Como ejemplo de dicho modelo, consideremos un filtro de polaroid que deja pasar fotones de una polarización (digamos $H$) y absorbe fotones de la polarización ortogonal (digamos $V$). Podemos pensar en esto como una forma de medir la polarización del fotón. Para describir el proceso de medición, necesitamos utilizar un modelo que incluya los constituyentes microscópicos del filtro (y del aire, etc), para que la polarización del fotón tenga la oportunidad de influenciar el microestado del filtro (etc).
Podemos distinguir entre el microestado del filtro después de que un fotón $H$ pase a través (llamaremos a ese microestado $h$) y el microestado del filtro después de que un fotón $V$ es absorbido (llamaremos a ese $v$). La absorción del fotón afecta el microestado del filtro, y aunque ese efecto sea inicialmente localizado, se propaga y termina afectando el microestado de una manera demasiado complicada para que seres mortales como nosotros lo sigan, algo así como desplazar una sola molécula en la atmósfera tiene un efecto en cascada que rápidamente hace que el microestado sea muy diferente de lo que hubiera sido de otra manera. Por lo tanto, los microestados $h$ y $v$ son muy diferentes entre sí, incluso si la diferencia es macroscópicamente imperceptible.
Ahora, supongamos para simplificar que el filtro no se ve afectado cuando el fotón pasa a través de $H$. Antes de que el fotón llegue al filtro, podemos tomar el estado inicial como $c_H|Hh\rangle+c_V|Vh\rangle$, donde los dos términos difieren solo en la polarización del fotón. Estos términos son ortogonales, pero difieren de una manera muy simple, porque el microestado del filtro es el mismo en ambos términos. Después de que el fotón llegue al filtro, el estado es $c_H|Hh\rangle+c_V|Vv\rangle$. Ahora el microestado del filtro es diferente en los dos términos, y la diferencia es tan complicada que esos términos permanecerán ortogonales independientemente de lo que intentemos hacer. Esa es esencialmente la definición de una medición, y significa que podríamos igualmente proyectar solo en uno de esos dos términos, aunque la teoría cuántica no pueda decirnos cuál.
Nuevamente, todo esto es teoría cuántica ordinaria, pero utilizando un modelo que incluye los constituyentes microscópicos del sistema más grande, no solo el fotón de interés. Esto es necesario si queremos describir la dinámica del proceso de medición en sí mismo, porque la medición, por definición, trata sobre cómo el objeto de interés (la polarización del fotón en este ejemplo) afecta a todo lo demás.
