He visto dos preguntas sobre cómo resolver el cubo de Rubik, pero ninguna de las respuestas ha dado una solución completa utilizando principalmente técnicas matemáticas. Además, no he visto una buena explicación de técnicas generales para resolver rompecabezas de permutación en general, incluidos los de la familia del cubo de Rubik, sin involucrar secuencias de movimientos memorizadas. Así que he decidido escribir mi método a continuación como un ejemplo de cómo la teoría de grupos puede aplicarse para resolver tales rompecabezas.
Respuesta
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Fedor Steeman
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¿Puedo agregar que si alguien se preguntaba sobre el número máximo de 3-ciclos necesarios para resolver/generar cualquier permutación par de cualquier órbita de piezas del cubo de Rubik de $n\times n\times n$ (ignorando las orientaciones de las esquinas y bordes centrales), obtengo que se necesita un máximo de:
- 12 3-ciclos para resolver cada órbita de centro no fijo y borde ala (uno a la vez).
- El número exacto promedio de 3-ciclos necesarios para resolver todos los $24!/2$ casos de permutaciones pares de 24 objetos es $7272437897/669278610$ (aproximadamente 10.87).
- Para los bordes centrales (12 objetos), se requiere un máximo de 6 3-ciclos.
- El número exacto promedio de 3-ciclos para manejar todas las permutaciones pares de $12!/2$ es 34757/6930 que es aproximadamente 5.02.
- Para las esquinas (8 objetos), se requiere un máximo de 4 3-ciclos.
- El número exacto promedio de 3-ciclos para manejar todas las permutaciones pares de 8!/2 es 649/210 que es aproximadamente 3.09.
Todas estas calculaciones incluyen el caso resuelto (que obviamente es una permutación par y se incluye en las cantidades de k!/2).
Para la posible curiosidad de todos, esto significa que se necesita un máximo de este número o un promedio de este número de 3-ciclos para resolver el cubo de $n\times n\times x\times n$ (simplemente sustituye un número entero que corresponda al tamaño del cubo por k a la derecha de la entrada en Wolfram Alpha).
Es decir, la función del número máximo de 3-ciclos para resolver el supercubo de $n\times n\times n$ (donde ignoramos los giros de los centros fijos en el supercubo de $n\times n\times n$ impar, y los centros no fijos son únicos) es simplemente $3n^2 - 6n + \frac{{3\cos \left( {n\pi } \right) + 5}}{2}$.
Supongamos que usamos 3-ciclos que tienen 10 movimientos de longitud. Esto significa que debería tomar alrededor de (8)(10) = 80 movimientos en promedio para resolver el 3x3x3 usando este enfoque (donde el estado "resuelto" será uno en el que es probable que las esquinas y bordes centrales estén desorientados), y alrededor de (10)(26635) = 266.350 movimientos en promedio para resolver el 100x100x100. Por supuesto, aplicamos como máximo Floor[n/2] cuartos de giro de las capas para colocar el supercubo de _n_x_n_xn en el subgrupo conmutador del supercubo de _n_x_n_xn, y así agregamos este término a nuestro número total de movimientos estimados.
Claramente, dado que estos cálculos son para el supercubo de $n\times n\times n$, es probable que el número máximo real de 3-ciclos requeridos para resolver el cubo regular de Rubik de $n\times n\times n$ sea menor, aunque hacer tal cálculo requeriría una búsqueda por fuerza bruta mucho más complicada que la que hice para estos cálculos de supercubo.
