Estoy tratando de obtener una explicación en palabras, o matemáticas, de lo que significa $d\mu$ en una declaración de integración. Tal como: $$\int f \ d\mu$$ ¿Cómo cambia la medida nuestra antigua noción de integración "cálculo"? ¿Qué está pasando aquí que es diferente?
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jdods
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Realmente tuve dificultades con este concepto en la escuela de posgrado porque estaba estudiando matemáticas aplicadas y fui lanzado hacia teorías de nivel más alto sin haberlo construido rigurosamente como supongo que se haría en un programa de matemáticas puras.
Si estamos integrando sobre un espacio $X$, a veces prefiero la notación $\int_X f(x)\mu(dx)$. Me gusta pensar en ello como dividir el espacio sobre el que estamos integrando en piezas infinitesimales, pero tenemos que tomar la medida de esas piezas infinitesimales ya que pueden no ser todas idénticas bajo $\mu$. Estoy acostumbrado a trabajar con medidas de probabilidad, y al menos en ese caso, a menudo se puede pensar de manera similar a como se desarrollan la integración de Lebesgue y Riemann.
Crea una partición disjunta $X=\cup_{k=1}^N A_k$, y define la suma que aproximará la integral usando puntos de muestra apropiadamente elegidos $x_k\in A_k$.
$$\int_X f(x)\mu(dx) \approx \sum_{k=1}^N f(x_k) \mu(A_k).$$
Lo ideal sería tomar el límite cuando $N\rightarrow\infty$ (refinando cuidadosamente la partición y eligiendo puntos de muestra apropiados a medida que $N$ aumenta) hará que la suma converja hacia la integral. Lo que estamos haciendo aquí es aproximadamente la función $f$ con una función simple que es constante en una colección finita de conjuntos medibles.
nelv
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Piénselo físicamente: cada medida asigna diferentes pesos a conjuntos dados: considere, por ejemplo, el caso particular $d\mu=df(x)=f'(x)dx$ para una función $f(x)$ bien comportada. Aquí realmente puede ver la diferencia entre la medida "ordinaria" $dx$, que no le importa la ubicación del conjunto, y $f'(x)dx$, ¡que de hecho sí le importa! En fórmulas:
\begin{equation} \int_{[0,1]}dx = 1 = \int_{[1,2]}dx \end{equation> Pero en general: \begin{equation} \int_{[0,1]}df(x) = f(1)-f(0) \neq f(2)-f(1) = \int_{[1,2]}df(x) \end{equation>
Este es solo un ejemplo, pero la idea se aplica a medidas generales $\mu$; es en este sentido que esta perspectiva comunica el concepto - en mi opinión - de una medida ponderada. Permite estructuras mucho más generales y poderosas que la antigua idea de integración de Riemann con rectángulos que se encogen.
Luego se puede ir más allá y (intentar) relacionar medidas diferentes, por ejemplo a través de la teoría de Radon-Nikodym. Hay un mundo nuevo allá afuera. :-)
