¿Por qué funciona el método de Reducción de Filas para resolver sistemas de ecuaciones?

Question

¿Cómo es que la matriz aumentada, [Ab] que representa la ecuación Ax\=b tiene las mismas soluciones que rref[Ab]?

¿Por qué funciona el método de Reducción de Filas para resolver sistemas de ecuaciones y cómo preserva las soluciones?

Answer 1

Las operaciones elementales de fila en $A$ preservan:

1. El espacio de fila de A, $Row(A)$, que es un espacio lineal de las filas de A, y
2. Relaciones lineales entre columnas.

Una secuencia de operaciones elementales de fila se puede presentar como un producto de matrices elementales, cada una de las cuales corresponde a una operación de fila elemental realizada. Supongamos que este producto de matrices se denota como $C$. Entonces, el resultado de las operaciones elementales de fila aplicadas a $A$ puede escribirse como $A'=CA$. Por lo tanto, si inicialmente tienes $Ab=0$, entonces obtienes $CAb=C0=0$. Por ejemplo,

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7&8&9 \end{pmatrix} $ $\rightarrow$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} $

Desde la FREF puedes ver que $\begin{pmatrix} -1\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = -1\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. La misma combinación lineal de columnas es válida en la matriz original $A$: $\begin{pmatrix} 3\\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} = -1\begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 2\\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}$.

Nota que las operaciones elementales de fila cambian el espacio de columna, $Col(A)$, y las relaciones lineales entre filas.